Większość tabliczek glinianych opisujących matematykę babilońską należy do starobabilońskich, dlatego matematyka Mezopotamii jest powszechnie znana jako matematyka babilońska. Niektóre tabliczki gliniane zawierają listy i tabele matematyczne, inne zawierają problemy i wypracowane rozwiązania.
ArytmetykaEdit
Babilończycy używali wstępnie obliczonych tabel, aby pomóc w arytmetyce. Na przykład dwie tabliczki znalezione w Senkerah nad Eufratem w 1854 r., datowane na 2000 r. p.n.e., podają listy kwadratów liczb do 59 i sześcianów liczb do 32. Babilończycy posługiwali się listami kwadratów wraz ze wzorami:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {displaystyle ab={{frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {displaystyle ab={displayfrac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}
aby uprościć mnożenie.
Babilończycy nie mieli algorytmu dla długiego dzielenia. Zamiast tego opierali swoją metodę na fakcie, że:
a b = a × 1 b {{displaystyle {{frac {a}{b}}}=a}times {{frac {1}{b}}}}
wraz z tabelą odwrotności. Liczby, których jedynymi pierwszymi czynnikami są 2, 3 lub 5 (znane jako 5-gładkie lub regularne liczby) mają skończone odwrotności w zapisie seksagymalnym, a tablice z obszernymi listami tych odwrotności zostały znalezione.
Odwrotności takie jak 1/7, 1/11, 1/13, itp. nie mają skończonych reprezentacji w zapisie seksagymalnym. Aby obliczyć 1/13 lub podzielić liczbę przez 13, Babilończycy użyliby przybliżenia takiego jak:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {W tym samym czasie, w którym liczba 13 = 7 91 = 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600.
AlgebraEdit
Babilońska gliniana tabliczka YBC 7289 (ok. 1800-1600 p.n.e.) podaje przybliżenie √2 w czterech liczbach sekstagymalnych, 1;24,51,10, które jest dokładne do około sześciu cyfr po przecinku i jest najbliższą możliwą trójmiejscową reprezentacją sekstagymalną √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ż . {{displaystyle 1+{{frac {24}{60}}}+{{frac {51}{60^{2}}}+{{frac {10}{60^{3}}}={{{frac {30547}{21600}}=1.41421 {{overline {296}}}.}
Oprócz obliczeń arytmetycznych, babilońscy matematycy opracowali również algebraiczne metody rozwiązywania równań. Ponownie, były one oparte na wcześniej obliczonych tabelach.
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, Babilończycy zasadniczo używali standardowego wzoru na kwadrat. Rozważali równania czworokątne postaci:
x 2 + b x = c {{} x^{2}+bx=c}
gdzie b i c nie musiały być liczbami całkowitymi, ale c było zawsze dodatnie. Wiedzieli, że rozwiązaniem równania w tej postaci jest:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {{displaystyle x=-{frac {b}{2}}+{sqrt {left({frac {b}{2}}}right)^{2}+c}}}}.
i znajdowali pierwiastki kwadratowe efektywnie używając dzielenia i uśredniania. Zawsze używali pierwiastka dodatniego, bo to miało sens przy rozwiązywaniu „prawdziwych” problemów. Problemy tego typu obejmowały znalezienie wymiarów prostokąta, biorąc pod uwagę jego pole i ilość, o jaką długość przekracza szerokość.
Tablice z wartościami n3 + n2 były używane do rozwiązywania niektórych równań sześciennych. Na przykład, rozważ równanie:
a x 3 + b x 2 = c . {ax^{3}+bx^{2}=c.}
Mnożąc równanie przez a2 i dzieląc przez b3 otrzymujemy:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {{displaystyle}}left({{frac {ax}{b}}}right)^{3}+left({{frac {ax}{b}}}right)^{2}={{frac {ca^{2}}{b^{3}}}}.}
Podstawiając y = ax/b otrzymujemy:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {{3}+y^{2}}={{frac {ca^{2}}{b^{3}}}}}}
które można teraz rozwiązać, sprawdzając tabelę n3 + n2, aby znaleźć wartość najbliższą prawej stronie. Babilończycy dokonali tego bez notacji algebraicznej, wykazując niezwykłą głębię zrozumienia. Nie mieli jednak metody na rozwiązanie ogólnego równania sześciennego.
WzrostEdit
Babilończycy modelowali wzrost wykładniczy, ograniczony wzrost (poprzez formę funkcji sigmoidalnych) i podwojenie czasu, ten ostatni w kontekście odsetek od pożyczek.
Gliniane tabliczki z ok. 2000 r. p.n.e. zawierają ćwiczenie „Biorąc pod uwagę stopę procentową 1/60 miesięcznie (bez składania), oblicz czas podwojenia”. Daje to roczną stopę procentową 12/60 = 20%, a tym samym czas podwojenia 100% wzrostu/20% wzrostu rocznie = 5 lat.
Plimpton 322Edit
Tabliczka Plimptona 322 zawiera listę „trójek pitagorejskich”, czyli liczb całkowitych ( a , b , c ) {displaystyle (a,b,c)}
takie, że a 2 + b 2 = c 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Tych trójek jest zbyt wiele i są zbyt duże, by można je było uzyskać metodą brute force.
pytanie „jak obliczano na tabliczce?” nie musi mieć tej samej odpowiedzi co pytanie „jakie problemy stawia tabliczka?”. Na pierwsze z nich można odpowiedzieć najbardziej zadowalająco za pomocą par wzajemnych, co po raz pierwszy zasugerowano pół wieku temu, a na drugie za pomocą pewnego rodzaju problemów z trójkątem prostym.
(E. Robson, „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), s. 202).
GeometriaEdit
Babilończycy znali powszechnie stosowane zasady pomiaru objętości i powierzchni. Obwód koła mierzyli jako trzykrotność średnicy, a pole jako jedną dwunastą kwadratu obwodu, co byłoby poprawne, gdyby π oszacowano na 3. Byli świadomi, że jest to przybliżenie, a jedna starobabilońska tabliczka matematyczna wydobyta w pobliżu Susy w 1936 roku (datowana na okres między XIX a XVII wiekiem p.n.e.) podaje lepsze przybliżenie π jako 25/8 = 3.125, około 0,5 procent poniżej dokładnej wartości. Objętość cylindra została przyjęta jako iloczyn podstawy i wysokości, jednak objętość podstawy stożka lub ostrosłupa kwadratowego została błędnie przyjęta jako iloczyn wysokości i połowy sumy podstaw. Twierdzenie pitagorejskie było również znane Babilończykom.
„Mila babilońska” była miarą odległości równą około 11,3 km (lub około siedmiu współczesnych mil).Ta miara odległości ostatecznie została przekształcona w „milę czasową” używaną do pomiaru podróży Słońca, a więc reprezentującą czas.
Starożytni Babilończycy znali twierdzenia dotyczące stosunków boków podobnych trójkątów przez wiele stuleci, ale brakowało im pojęcia miary kąta i w konsekwencji studiowali boki trójkątów zamiast tego.
Astronomowie babilońscy prowadzili szczegółowe zapisy wschodów i zachodów gwiazd, ruchu planet oraz zaćmień Słońca i Księżyca, z których wszystkie wymagały znajomości odległości kątowych mierzonych na sferze niebieskiej.
Używali również pewnej formy analizy Fouriera do obliczania efemeryd (tabel pozycji astronomicznych), która została odkryta w latach 50. przez Otto Neugebauera. Aby wykonać obliczenia ruchów ciał niebieskich, Babilończycy używali podstawowej arytmetyki i układu współrzędnych opartego na ekliptyce, części nieba, przez którą wędrują słońce i planety.
Tablice przechowywane w British Museum dostarczają dowodów na to, że Babilończycy posunęli się nawet tak daleko, że mieli pojęcie obiektów w abstrakcyjnej przestrzeni matematycznej. Tabliczki pochodzą z okresu pomiędzy 350 a 50 r. p.n.e., ujawniając, że Babilończycy rozumieli i stosowali geometrię jeszcze wcześniej, niż wcześniej sądzono. Babilończycy stosowali metodę szacowania pola powierzchni pod krzywą poprzez rysowanie trapezu pod spodem, technikę, o której wcześniej sądzono, że pochodzi z XIV-wiecznej Europy. Ta metoda szacowania pozwalała im, na przykład, znaleźć odległość, jaką Jowisz przebył w określonym czasie.