Alai

W matematyce, standardowa podstawa (zwana również naturalną podstawą) przestrzeni wektorów współrzędnych jest zbiorem wektorów, których współrzędne są wszystkie zerowe, z wyjątkiem jednego, który jest równy 1. Na przykład, w przypadku płaszczyzny euklidesowej utworzonej przez pary (x, y) liczb rzeczywistych, podstawę standardową tworzą wektory

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Każdy wektor a w trzech wymiarach jest kombinacją liniową standardowych wektorów bazowych i, j, oraz k.

Podobnie, standardową podstawę dla przestrzeni trójwymiarowej tworzą wektory

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\aquad {e} _{y}=(0,1,0),\aquad {e} _{z}=(0,0,1).} {mathbf {e}_{x}=(1,0,0),\quad {mathbf {e}_{y}=(0,1,0),\quad {mathbf {e}_{z}=(0,0,1).

Tutaj wektor ex wskazuje w kierunku x, wektor ey wskazuje w kierunku y, a wektor ez wskazuje w kierunku z. Istnieje kilka popularnych notacji dla wektorów o standardowej podstawie, w tym {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} oraz {x, y, z}. Wektory te są czasami pisane z kapeluszem, aby podkreślić ich status jako wektory jednostkowe (standardowe wektory jednostkowe).

Te wektory są podstawą w tym sensie, że każdy inny wektor może być wyrażony jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Na przykład, każdy wektor v w przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jednoznacznie jako

v x e x + v y e y + v z e z , {mathbf {e} _{x}+v_{y}}}, {mathbf {e} _{y}+v_{z}},

skalary vx, vy, vz będące składowymi skalarnymi wektora v.

W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej R n {\i0} , podstawa standardowa składa się z n różnych wektorów

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {{{mathbf {e} _{i}:1},}

gdzie ei oznacza wektor z 1 w i-tej współrzędnej i 0 w pozostałych.

Bazy standardowe mogą być zdefiniowane dla innych przestrzeni wektorowych, których definicja wymaga współczynników, takich jak wielomiany i macierze. W obu przypadkach baza standardowa składa się z elementów przestrzeni takich, że wszystkie współczynniki oprócz jednego są równe 0, a niezerowy jest równy 1. Dla wielomianów baza standardowa składa się więc z jednomianów i jest potocznie nazywana bazą jednomianową. Dla macierzy M m × n {{displaystyle {{mathcal {M}}_{m razy n}} , podstawa standardowa składa się z macierzy m×n o dokładnie jednym niezerowym wpisie, którym jest 1. Na przykład podstawę standardową dla macierzy 2×2 tworzą 4 macierze

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . \{displaystyle \mathbf {e} _{11}={{begin{pmatrix}1&0\ end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={{begin{pmatrix}0&1\0&0\ end{pmatrix}},\quad {e} _{21}={{begin{pmatrix}0&0&0