Alai

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Para uma cobertura mais ampla deste tópico, veja Canonical basis.

Não confundir com outro nome para uma base Gröbner.

Simplesmente, a base padrão para o espaço tridimensional é formada por vetores

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\a} _{x}=(1,0,0),|quad |mathbf {e} _{y}=(0,1,0),|quad |mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Aqui o vector ex aponta na direcção x, o vector ey aponta na direcção y, e o vector ez aponta na direcção z. Existem várias notações comuns para vetores de base padrão, incluindo {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k}, e {x, y, z}. Estes vetores são às vezes escritos com um chapéu para enfatizar seu status como vetores de unidade (vetores de unidade padrão).

Estes vetores são uma base no sentido de que qualquer outro vetor pode ser expresso de forma única como uma combinação linear destes. Por exemplo, cada vector v no espaço tridimensional pode ser escrito exclusivamente como

v x e x + v y e y + v z e z , {\i1}, {\i1}mathbf {e} _{x}+v_{y},{\i}mathbf {e} _{y}+v_{z},\mathbf {e}_{x},{z}

os escalares vx, vy, sendo vz os componentes escalares do vector v.

No espaço Euclidiano n-dimensional R n ^{\i1}displaystyle {\i}mathbb ^{n}} , a base padrão consiste em n vectores distintos

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } …ao estilo de jogo… 8159

onde ei denota o vector com um 1 na coordenada i e 0 em outro lugar.

Bases padrão podem ser definidas para outros espaços vectoriais, cuja definição envolve coeficientes, tais como polinómios e matrizes. Em ambos os casos, a base padrão consiste nos elementos do espaço de tal forma que todos os coeficientes, excepto um, são 0 e o não zero é 1. Para os polinómios, a base padrão consiste, portanto, nos monomiais e é comumente chamada de base monomial. Para as matrizes M m × n {\\i1}_M , a base padrão consiste nas matrizes m×n com exatamente uma entrada diferente de zero, que é 1. Por exemplo, a base padrão para matrizes 2×2 é formada pelas 4 matrizes

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) . {\a104},e 12 = ( 0 0 0 0 1 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) ,}