Os comprimidos de argila que descrevem a matemática babilônica pertencem ao antigo babilônico, razão pela qual a matemática da Mesopotâmia é comumente conhecida como matemática babilônica. Alguns tabletes de argila contêm listas e tabelas matemáticas, outros contêm problemas e soluções trabalhadas.
>AritméticaEditar
Os babilônios usaram tabelas pré-calculadas para ajudar com a aritmética. Por exemplo, dois comprimidos encontrados em Senkerah no Eufrates em 1854, datados de 2000 a.C., dão listas dos quadrados de números até 59 e os cubos de números até 32. Os babilônios usavam as listas de quadrados junto com as fórmulas:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac ^{(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}
para simplificar a multiplicação.
Os Babylonians não tinham um algoritmo para divisão longa. Em vez disso, basearam o seu método no facto de:
a b = a × 1 b {\frac {\a}{b}}=a=a^ vezes {\frac {1}{b}}}}
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com uma tabela de recíprocos. Números cujos únicos fatores principais são 2, 3 ou 5 (conhecidos como números 5-suaves ou regulares) têm notações recíprocas finitas em notação sexagesimal, e tabelas com extensas listas destas recíprocas foram encontradas.
Reciprocals como 1/7, 1/11, 1/13, etc. não têm representações finitas em notação sexagesimal. Para calcular 1/13 ou para dividir um número por 13 os babilônios usariam uma aproximação como:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 9 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10
ÁlgebraEditar
O comprimido de argila babilônica YBC 7289 (c. 1800-1600 BC) dá uma aproximação de √2 em quatro figuras sexagesimais, 1;24,51,10, que é preciso com cerca de seis dígitos decimais, e é a representação sexagesimal de três lugares mais próxima possível de √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\a10}{60^{2}}+{\a10}{60^{3}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\a10}.{296}}.}
>Além de cálculos aritméticos, os matemáticos babilônicos também desenvolveram métodos algébricos para resolver equações. Mais uma vez, estes foram baseados em tabelas pré-calculadas.
Para resolver uma equação quadrática, os babilônios usaram essencialmente a fórmula quadrática padrão. Eles consideraram equações quadráticas da forma:
x 2 + b x = c ^{\\i1}x^{\i}+bx=c}.
onde b e c não eram necessariamente números inteiros, mas c era sempre positivo. Eles sabiam que uma solução para esta forma de equação é:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\i1}displaystyle x=-{\i}{b}{2}}+{\iqrt {\i}{\i1}esquerda(b}{\i}{2}}direita)^{2+c}}}}
e encontraram raízes quadradas usando divisão e média de forma eficiente. Eles sempre usaram a raiz positiva porque isto fazia sentido ao resolver problemas “reais”. Os problemas deste tipo incluíam encontrar as dimensões de um rectângulo dada a sua área e a quantidade pela qual o comprimento excede a largura.
Tabelas de valores de n3 + n2 foram usadas para resolver certas equações cúbicas. Por exemplo, considere a equação:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicando a equação por a2 e dividindo por b3 dá:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . Estilo de jogo Esquerda (esquerda) (eixo b) (direita) (3) + Esquerda (eixo b) (direita) (2) = frac (ca) (2) (b) (3)
Substituindo y = ax/b dá:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
que agora poderia ser resolvido procurando na tabela n3 + n2 para encontrar o valor mais próximo do lado direito. Os babilônios conseguiram isto sem notação algébrica, mostrando uma notável profundidade de compreensão. Entretanto, eles não tinham um método para resolver a equação cúbica geral.
GrowthEdit
Babylonians modelaram crescimento exponencial, crescimento restrito (via uma forma de funções sigmóides), e tempo de duplicação, este último no contexto de juros sobre empréstimos.
Bárbaros de argila de c. 2000 a.C. incluem o exercício “Dada uma taxa de juros de 1/60 por mês (sem composição), calcule o tempo de duplicação”. Isto produz uma taxa de juros anual de 12/60 = 20%, e portanto um tempo de duplicação de 100% de crescimento/20% de crescimento por ano = 5 anos.
Plimpton 322Edit
O comprimido Plimpton 322 contém uma lista de “triplos pitagóricos”, ou seja, inteiros ( a , b , c ) {\\i1} {\i1}displaystyle (a,b,c)}
tal que a 2 + b 2 = c 2 {\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Os triplos são muitos e grandes demais para terem sido obtidos pela força bruta.
Muito foi escrito sobre o assunto, incluindo algumas especulações (talvez anacrónicas) sobre se a tábua poderia ter servido como uma tabela trigonométrica inicial. Deve-se ter cuidado para ver a tábua em termos de métodos familiares ou acessíveis aos escribas na época.
a pergunta “como a tábua foi calculada?” não precisa ter a mesma resposta que a pergunta “que problemas a tábua coloca? O primeiro pode ser respondido de forma mais satisfatória por pares recíprocos, como sugerido pela primeira vez há meio século atrás, e o segundo por algum tipo de problema no triângulo direito.
(E. Robson, “Nem Sherlock Holmes nem Babylon: uma reavaliação de Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometryEdit
Babylonians conheciam as regras comuns para medir volumes e áreas. Eles mediram a circunferência de um círculo como três vezes o diâmetro e a área como um duodécimo do quadrado da circunferência, o que seria correto se π fosse estimado como 3. Eles estavam cientes de que esta era uma aproximação, e uma velha pastilha matemática babilônica escavada perto de Susa em 1936 (datada entre os séculos 19 e 17 a.C.) dá uma melhor aproximação de π como 25/8 = 3.O volume de um cilindro foi tomado como o produto da base e a altura, no entanto, o volume da frustração de um cone ou de uma pirâmide quadrada foi incorrectamente tomado como o produto da altura e metade da soma das bases. O teorema de Pitágoras também era conhecido pelos babilônios.
A “milha babilônica” era uma medida de distância igual a cerca de 11,3 km (ou cerca de sete milhas modernas). Esta medida para distâncias eventualmente foi convertida em um “tempo-milha” usado para medir a viagem do Sol, portanto, representando o tempo.
Os antigos babilônios tinham conhecimento de teoremas sobre as proporções dos lados de triângulos similares por muitos séculos, mas faltava-lhes o conceito de uma medida angular e, consequentemente, estudaram os lados dos triângulos em seu lugar.
Os astrônomos babilônicos mantiveram registros detalhados da ascensão e fixação das estrelas, do movimento dos planetas, e dos eclipses solares e lunares, o que exigia familiaridade com as distâncias angulares medidas na esfera celeste.
Abriram também uma forma de análise de Fourier para calcular efemérides (tabelas de posições astronômicas), que foi descoberta nos anos 50 por Otto Neugebauer. Para fazer cálculos dos movimentos dos corpos celestes, os babilônios usaram aritmética básica e um sistema de coordenadas baseado na eclíptica, a parte do céu que o sol e os planetas percorrem.
Tablets mantidos no Museu Britânico fornecem evidências de que os babilônios chegaram ao ponto de ter um conceito de objetos em um espaço matemático abstrato. As tabuletas datam entre 350 e 50 a.C.E., revelando que os babilônios entenderam e usaram a geometria ainda mais cedo do que se pensava anteriormente. Os babilônios usaram um método para estimar a área sob uma curva, desenhando um trapézio por baixo, uma técnica que se acreditava ter originado na Europa do século 14. Este método de estimativa permitiu-lhes, por exemplo, encontrar a distância que Júpiter tinha percorrido num determinado período de tempo.