Uma matriz semelhante a uma matriz triangular é referida como triangularizável. Em resumo, isto é equivalente a estabilizar uma bandeira: matrizes triangulares superiores são precisamente aquelas que preservam a bandeira padrão, que é dada pela base padrão ordenada ( e 1 , … , e n ) {\i1}displaystyle (e_{1},\i}ldots ,e_{n})}
e a bandeira resultante 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . estilo de jogo 0<ângulo esquerdo e_{1}{1}direita, e_4364>ângulo esquerdo e_{1},e_{2}direita, e_4364>pontos <pontos <pontos esquerdo e_{1},}pontos ,e_{n}direita, e_{n}rangle =K^{n}.} Todas as bandeiras são conjugadas (pois o grupo linear geral age transitivamente sobre bases), então qualquer matriz que estabiliza uma bandeira é similar a uma que estabiliza a bandeira padrão.
Ainda matriz quadrada complexa é triangularizável. Na verdade, uma matriz A sobre um campo contendo todos os valores próprios de A (por exemplo, qualquer matriz sobre um campo algébrico fechado) é similar a uma matriz triangular. Isto pode ser provado usando indução sobre o fato de que A tem um autovetor, tomando o espaço quociente pelo autovetor e induzindo a mostrar que A estabiliza uma bandeira, e é assim triangularizável com respeito a uma base para aquela bandeira.
Uma afirmação mais precisa é dada pelo teorema da forma normal Jordan, que afirma que nesta situação, A é semelhante a uma matriz triangular superior de uma forma muito particular. O resultado mais simples da triangularização é muitas vezes suficiente, no entanto, e em qualquer caso usado para provar o teorema da forma normal do Jordão.
No caso de matrizes complexas, é possível dizer mais sobre triangularização, ou seja, que qualquer matriz quadrada A tem uma decomposição de Schur. Isto significa que A é equivalente unitarralmente (isto é, similar, usando uma matriz unitária como mudança de base) a uma matriz triangular superior; isto segue tomando uma base hermitiana para a bandeira.
Triangularisabilidade simultâneaEditar
Um conjunto de matrizes A 1 , … , A k {\i1}displaystyle A_{\i},\i}ldots ,A_{k}}
são ditos triangularizáveis simultaneamente se houver uma base sob a qual todos eles são triangulares superiores; equivalentemente, se eles são triangularizáveis superiores por uma única matriz de similaridade P. Tal conjunto de matrizes é mais facilmente compreendido considerando a álgebra de matrizes que gera, nomeadamente todos os polinómios no A i , {\i},}
denoted K . estilo K.|displaystyle K .
Triangularidade simultânea significa que esta álgebra é conjugada na subárvore de mentira de uma matriz triangular superior, e é equivalente a esta álgebra sendo uma subárvore de mentira de uma subárvore de Borel.
O resultado básico é que (sobre um campo algébrico fechado), as matrizes A , B {\i1}displaystyle A,B
ou mais geralmente A 1 , … , A k {\i1}displaystyle A_{\i},{\i}ldots ,A_{k}}
são simultaneamente triangularizáveis. Isto pode ser provado primeiro mostrando que as matrizes de deslocamento têm um vetor próprio comum, e depois induzindo na dimensão como antes. Isto foi provado por Frobenius, a partir de 1878, para um par de deslocamentos, como discutido nas matrizes de deslocamentos. Quanto a uma matriz única, sobre os números complexos, estes podem ser triangularizados por matrizes unitárias.
O fato de que as matrizes pendulares têm um vetor próprio comum pode ser interpretado como resultado do Nullstellensatz de Hilbert: as matrizes de comutação formam uma álgebra comutativa K {\displaystyle K}
sobre K {\displaystyle K}
que pode ser interpretada como uma variedade no espaço afim k-dimensional, e a existência de um valor próprio (comum) (e, portanto, um vetor próprio comum) corresponde a esta variedade com um ponto (não vazio), que é o conteúdo do (fraco) Nullstellensatz. Em termos algébricos, estes operadores correspondem a uma representação algébrica da álgebra polinomial em k variáveis.
Este é generalizado pelo teorema de Lie, que mostra que qualquer representação de uma álgebra de Lie solvível é simultaneamente triangularizável superior, sendo o caso de matrizes comutáveis o caso da álgebra de Lie abeliana, sendo a abeliana a fortiori solvível.
Mais geral e precisamente, um conjunto de matrizes A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
é simultaneamente triangularisável se e só se a matriz p ( A 1 , … , A k ) p(A_{1},{ldots ,A_{k})}
é nilpotente para todos os polinómios p em k variáveis não-comutáveis, onde {\i1}estilo de exibição {\i}
é o comutador; para a deslocação A i {\i}}
o comutador desaparece, por isso, isto mantém-se. Isto foi provado em (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); uma breve prova é dada em (Prasolov 1994, pp. 178-179). Uma direção é clara: se as matrizes são simultaneamente triangulares, então {\\i1}
é estritamente triangularizável superior (daí nilpotente), que é preservado pela multiplicação por qualquer A k {\i1}displaystyle A_{k}}
ou combinação dos mesmos – ainda terá 0s na diagonal na base de triangularização.