O que é a Matemática?A Matemática é uma disciplina antiga, ampla e profunda (campo de estudo). As pessoas que trabalham para melhorar a educação matemática precisam entender “O que é Matemática?” |
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>Um Tidbit da História
A Matemática como área formal de ensino e aprendizagem foi desenvolvida há cerca de 5.000 anos pelos sumérios. Eles fizeram isso ao mesmo tempo em que desenvolveram a leitura e a escrita. No entanto, as raízes da matemática remontam a muito mais de 5.000 anos.
Atrás da sua história, os humanos enfrentaram a necessidade de medir e comunicar sobre o tempo, a quantidade e a distância. O Osso Ishango (ver ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html e http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
pt/ishango/riddle.html) é um cabo de ferramentas ósseas com aproximadamente 20.000 anos.
Figure 1
A figura abaixo mostra fichas de barro sumério cujo uso começou há cerca de 11.000 anos (ver http://www.sumerian.org/tokens.htm). Tais fichas de barro foram um predecessor da leitura, escrita e matemática.
Figure 2
> O desenvolvimento da leitura, escrita e matemática formal 5.000 anos atrás permitiu a codificação do conhecimento matemático, instrução formal em matemática, e começou uma acumulação constante de conhecimento matemático.
Matemática como Disciplina
Uma disciplina (um campo de estudo organizado e formal) como a matemática tende a ser definida pelos tipos de problemas que aborda, os métodos que utiliza para abordar esses problemas, e os resultados que obteve. Uma forma de organizar este conjunto de informações é dividi-lo nas três categorias seguintes (naturalmente, elas se sobrepõem):
- Matemática como um esforço humano. Por exemplo, considere a matemática da medição do tempo como anos, estações, meses, semanas, dias, e assim por diante. Ou, considere a medição da distância, e os diferentes sistemas de medição de distância que se desenvolveram em todo o mundo. Ou, pense em matemática na arte, na dança e na música. Há uma rica história de desenvolvimento humano da matemática e usos matemáticos em nossa sociedade moderna.
- Matemática como disciplina. Você está familiarizado com muitas disciplinas acadêmicas tais como arqueologia, biologia, química, economia, história, psicologia, sociologia, e assim por diante. A Matemática é uma disciplina ampla e profunda que continua a crescer em amplitude e profundidade. Hoje em dia, uma dissertação de pesquisa de doutorado em matemática é tipicamente focada em definições, teoremas e provas relacionadas a um único problema em um subcampo restrito em matemática.
- Matemática como uma linguagem e ferramenta interdisciplinar. Como a leitura e a escrita, a matemática é um componente importante da aprendizagem e do “fazer” (usando o próprio conhecimento) em cada disciplina acadêmica. A matemática é uma linguagem e ferramenta tão útil que é considerada uma das “bases” do nosso sistema educativo formal.
Em grande medida, os alunos e muitos dos seus professores tendem a definir a matemática em termos do que aprendem nos cursos de matemática, e estes cursos tendem a concentrar-se em #3. O foco instrucional e de avaliação tende a ser nas habilidades básicas e na resolução de problemas relativamente simples usando estas habilidades básicas. Como a discussão de três componentes acima indica, isto é apenas parte da matemática.
Even dentro do terceiro componente, não está claro o que deve ser enfatizado no currículo, na instrução e na avaliação. A questão das competências básicas versus competências de ordem superior é particularmente importante na educação matemática. Quanto tempo da educação matemática deve ser gasto para ajudar os alunos a obter um alto nível de precisão e automaticidade nas habilidades básicas computacionais e processuais? Quanto tempo deve ser gasto em habilidades de ordem superior, tais como a colocação de problemas, representação de problemas, resolução de problemas complexos e transferência de conhecimentos e habilidades em matemática para problemas em disciplinas não-matológicas?
Beauty in Mathematics
Relativamente poucos professores de K-12 estudam matemática o suficiente para que entendam e apreciem a amplitude, profundidade, complexidade e beleza da disciplina. Os matemáticos frequentemente falam sobre a beleza de uma prova ou resultado matemático em particular. Você se lembra de algum dos seus professores de matemática do K-12 que já falou sobre a beleza da matemática?
G. H. Hardy foi um dos principais matemáticos do mundo na primeira metade do século 20. Em seu livro “A Mathematician’s Apology” ele elabora longamente sobre as diferenças entre matemática pura e matemática aplicada. Ele discute dois exemplos de (belos) problemas de matemática pura. Estes são problemas que alguns alunos do ensino médio e médio podem muito bem resolver, mas são bastante diferentes dos tipos de matemática abordados no nosso currículo atual de K-12. Ambos os problemas foram resolvidos há mais de 2.000 anos e são representativos do que os matemáticos fazem.
- Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Provar que a raiz quadrada de 2 não é um número racional. Note que a raiz quadrada de 2 surge de uma forma natural, uma vez que se usa técnicas de exploração de terra e carpintaria.
- Um número primo é um inteiro positivo maior que 1, cujos únicos divisores inteiros positivos são ele próprio e 1. Prove que existe um número infinito de números primos. Nos últimos anos, números prime muito grandes têm surgido como sendo bastante úteis na criptografia de mensagens eletrônicas.
Resolução de problemas
O diagrama seguinte pode ser usado para discutir a representação e solução de problemas matemáticos aplicados no nível K-12. Este diagrama é especialmente útil nas discussões do currículo atual da matemática K-12.
Figure 3
Os seis passos ilustrados são 1) Posicionamento do problema; 2) Modelagem matemática; 3) Uso de um procedimento computacional ou algorítmico para resolver um problema matemático computacional ou algorítmico; 4) “desmodelagem” matemática; 5) Pensar nos resultados para ver se o problema claramente definido foi resolvido; e 6) Pensar se a situação do problema original foi resolvida. Os passos 5 e 6 também envolvem pensar sobre problemas relacionados e situações problemáticas que se pode querer resolver ou que são criados pelo processo ou tentar resolver o Problema Claramente definido original ou resolver a Situação Problemática original. Clique aqui para mais informações sobre resolução de problemas.
Comentários Finais
Aqui estão quatro pontos muito importantes que emergem da consideração do diagrama da Figura 3 e do material anterior apresentado nesta seção:
- A Matemática é uma ajuda para representar e tentar resolver situações de problemas em todas as disciplinas. É uma ferramenta e linguagem interdisciplinar.
- Os computadores e calculadores são extremamente rápidos, precisos e capazes de fazer o Passo 3.
- O nosso currículo atual de matemática K-12 passa a maior parte do seu tempo ensinando os alunos a fazer o Passo 3 usando as ferramentas físicas e mentais (como lápis e papel) que têm sido usadas há centenas de anos. Podemos pensar nisso como ensinando os alunos a competir com máquinas, ao invés de trabalhar com máquinas.
- Nosso sistema atual de educação matemática nos níveis PreK-12 é desequilibrado entre conhecimento e habilidades de ordem inferior (com muita ênfase no Passo 3 no diagrama) e conhecimento e habilidades de ordem superior (todos os outros passos no diagrama). É fraco em matemática como esforço humano e como disciplina de estudo.
Existem três poderosos agentes de mudança que irão eventualmente facilitar e forçar grandes mudanças em nosso sistema de educação matemática.
- A ciência cerebral, que está sendo grandemente auxiliada por equipamentos de varredura cerebral e mapeamento computadorizado e modelagem de atividades cerebrais, está adicionando significativamente ao nosso entendimento de como o cérebro aprende matemática e usa seus conhecimentos e habilidades matemáticas.
- A Tecnologia da Informação e da Computação está fornecendo poderosos auxílios a muitas áreas de pesquisa diferentes (como a Ciência do Cérebro), ao ensino da matemática (por exemplo, através do uso da Aprendizagem Inteligente Altamente Interativa Assistida por Computador, talvez entregue pela Internet), ao conteúdo da matemática (por exemplo, Matemática Computacional), e à representação e automatização da parte “procedimentos” de fazer matemática.
- O crescimento constante da totalidade do conhecimento matemático e suas aplicações para representar e ajudar a resolver problemas em todas as disciplinas acadêmicas.
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