Nuñez nasceu em Colón, Cuba. A mãe de Nunez, dentista, e o pai, advogado, frequentaram a escola na Universidade de Havana, enquanto Fidel Castro era estudante lá. A família por volta de 1960 mudou-se primeiro para Caracas, Venezuela, e depois para os Estados Unidos. Sua família mudou-se para Boston quando ele tinha dois anos de idade e depois para Union City, Nova Jersey, quando ele tinha quatro anos. Ele foi naturalizado cidadão americano em 1964. Ele é bilíngüe em inglês e espanhol. Nunez frequentou várias faculdades em Nova Iorque, incluindo o Fashion Institute of Technology e a Parsons School of Design para escrever, e tornou-se técnico dentário certificado depois de estudar no Magna Institute of Dental Technology.
Nunez começou a sua carreira de comédia em Nova Iorque, apresentando mais de 300 espectáculos com a companhia de teatro The Shock of the Funny. A trupe esteve ativa no East Village por vários anos. Além do seu trabalho com Shock, Nunez apareceu no teatro em Nova York e Washington, D.C. antes de se mudar para Los Angeles em meados dos anos 90. Em Los Angeles, ele se juntou ao The Groundlings e se apresentou na Companhia de Domingo deles. Enquanto estava com os Groundlings, escreveu e estrelou uma produção chamada “Smooth Down There”.
Em 1997, Nunez formou-se na Warner Brothers Comedy Writer’s Workshop. Em 1999, ele foi finalista no ABC Latino Writers Project.
Em 1998, ele apareceu no game show Match Game, mas não foi um vencedor.
Nunez foi o substituto de Adam Carolla no The Man Show.
Os créditos televisivos de Nunez incluem Malcolm in the Middle, 24, Curb Your Enthusiasm, Reno 911!, The District e Mad TV, além de seu papel no The Office. Ele também foi o criador e produtor executivo da série Comedy Central Halfway Home, na qual ele co-estrelou como o personagem Eulogio Pla.
Os seus créditos de filme incluem The Italian Job (como segurança), Reno 911! Miami, e When Do We Eat We Eat?. Em 2009, Nunez interpretou o papel de Ramon, o fornecedor, stripper, soda jerk, e finalmente o clero que realizou a cerimônia de casamento em A Proposta. Em 2012, Nunez interpretou o papel de José Baez, um advogado no filme Lifetime Prosecuting Casey Anthony.
Nunez apareceu como um dos oito juízes no concurso Miss EUA 2010, colocando uma questão sobre a lei de imigração indocumentada do Arizona para Miss Oklahoma EUA, Morgan Elizabeth Woolard. Nunez foi vaiado pelo público antes de terminar a pergunta; no entanto, ele pediu ao público que esperasse até que ele terminasse a pergunta antes que eles reagissem. Embora Woolard tenha respondido que ela apoia a lei como uma questão de direitos estatais, ela acrescentou que é contra o perfil racial.
Em 2014, Nunez co-estrelou ao lado de Eliza Coupe e Jay Harrington na curta série de comédia da Rede dos EUA Benched.
Em 2016, Nunez apareceu regularmente na série de comédia TBS, People of Earth, na TBS.
Em 2018, Nunez retratou o State Farm Insurance Agent Cole Perez em uma série de comerciais.
Em julho de 2018, Nunez assumiu o papel de Desi Arnaz, estrelando na produção mundial de I Love Lucy: A Funny Thing Happened on the Way to the Sitcom, uma comédia de bastidores sobre I Love Lucy de Gregg Oppenheimer (filho do criador da série Jess Oppenheimer). Gravada perante uma audiência ao vivo no Teatro James Bridges da UCLA, a produção de L.A. Theatre Works foi transmitida em rádio pública e lançada em CD de áudio e como um mp3.
Currentemente, Nunez está a retratar o Sr. Hernandez no Netflix original Mr. Iglesias.