Alai

În matematică, baza standard (numită și bază naturală) a unui spațiu vectorial de coordonate este setul de vectori ale căror coordonate sunt toate egale cu zero, cu excepția unuia care este egal cu 1. De exemplu, în cazul planului euclidian format din perechile (x, y) de numere reale, baza standard este formată din vectorii

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Fiecare vector a în trei dimensiuni este o combinație liniară a vectorilor de bază standard i, j și k.

În mod similar, baza standard pentru spațiul tridimensional este formată din vectorii

e x = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Aici vectorul ex punctează în direcția x, vectorul ey punctează în direcția y, iar vectorul ez punctează în direcția z. Există mai multe notații comune pentru vectorii cu bază standard, inclusiv {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} și {x, y, z}. Acești vectori sunt uneori scriși cu o pălărie pentru a sublinia statutul lor de vectori unitari (vectori unitari standard).

Acești vectori sunt o bază în sensul că orice alt vector poate fi exprimat în mod unic ca o combinație liniară a acestora. De exemplu, orice vector v în spațiul tridimensional poate fi scris în mod unic ca

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

scalarii vx, vy, vz fiind componentele scalare ale vectorului v.

În spațiul euclidian n-dimensional R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}. , baza standard este formată din n vectori distinși

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

unde ei reprezintă vectorul cu 1 în coordonata a i-a și cu 0 în restul coordonatelor.

Baze standard pot fi definite pentru alte spații vectoriale, a căror definiție implică coeficienți, cum ar fi polinoamele și matricile. În ambele cazuri, baza standard constă din elementele spațiului astfel încât toți coeficienții, cu excepția unuia, sunt 0, iar cel care nu este zero este 1. Pentru polinoame, baza standard constă astfel din monomii și se numește în mod obișnuit bază monomială. Pentru matricile M m m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} , baza standard este formată din matricele m×n cu exact o intrare diferită de zero, care este 1. De exemplu, baza standard pentru matrici 2×2 este formată din cele 4 matrici

e 11 = ( 1 0 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}