Majoritatea tăblițelor de lut care descriu matematica babiloniană aparțin Babilonului Vechi, motiv pentru care matematica din Mesopotamia este cunoscută în mod obișnuit sub numele de matematică babiloniană. Unele tăblițe de lut conțin liste și tabele matematice, altele conțin probleme și soluții lucrate.
AritmeticăEdit
Babilonienii foloseau tabele precalculate pentru a ajuta la aritmetică. De exemplu, două tăblițe descoperite la Senkerah, pe Eufrat, în 1854, datând din anul 2000 î.Hr. oferă liste de pătrate ale numerelor până la 59 și de cuburi ale numerelor până la 32. Babilonienii foloseau listele de pătrate împreună cu formulele:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}{2}}}}.
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}}{4}}}}{4}}}
pentru a simplifica înmulțirea.
Babilonienii nu aveau un algoritm pentru împărțirea lungă. În schimb, ei își bazau metoda pe faptul că:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}.
împreună cu un tabel de reciproce. Numerele ai căror unici factori primi sunt 2, 3 sau 5 (cunoscute sub numele de numere 5-liniștite sau regulate) au reciproce finite în notația sexagesimală și s-au găsit tabele cu liste extinse ale acestor reciproce.
Reciprocele precum 1/7, 1/11, 1/13 etc. nu au reprezentări finite în notația sexagesimală. Pentru a calcula 1/13 sau pentru a împărți un număr la 13, babilonienii foloseau o aproximație de genul:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\ori {\frac {1}{91}}\aprox. 7\ori {\frac {1}{90}}=7\ori {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.
AlgebraEdit
Tabla babiloniană de argilă YBC 7289 (c. 1800-1600 î.Hr.) oferă o aproximare a lui √2 în patru cifre sexagesimale, 1;24,51,10, care este precisă până la aproximativ șase cifre zecimale, și este cea mai apropiată reprezentare sexagesimală în trei locuri posibilă a lui √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}.
Pe lângă calculele aritmetice, matematicienii babilonieni au dezvoltat și metode algebrice de rezolvare a ecuațiilor. Din nou, acestea se bazau pe tabele precalculate.
Pentru a rezolva o ecuație pătratică, babilonienii foloseau în esență formula pătratică standard. Ei au luat în considerare ecuațiile pătratice de forma:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
unde b și c nu erau neapărat numere întregi, dar c era întotdeauna pozitiv. Ei știau că o soluție a acestei forme de ecuație este:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}}.
și au găsit rădăcinile pătrate în mod eficient folosind diviziunea și media. Ei au folosit întotdeauna rădăcina pozitivă pentru că acest lucru avea sens atunci când rezolvau probleme „reale”. Probleme de acest tip au inclus găsirea dimensiunilor unui dreptunghi având în vedere aria acestuia și suma cu care lungimea depășește lățimea.
Tabelele cu valorile lui n3 + n2 au fost folosite pentru a rezolva anumite ecuații cubice. De exemplu, să considerăm ecuația:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicând ecuația prin a2 și împărțind-o la b3 se obține:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}}{b^{3}}}.}
Substituind y = ax/b rezultă:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}}{b^{3}}}}
care ar putea fi rezolvată acum căutând în tabelul n3 + n2 pentru a găsi valoarea cea mai apropiată de partea dreaptă. Babilonienii au realizat acest lucru fără notații algebrice, demonstrând o remarcabilă profunzime a înțelegerii. Cu toate acestea, ei nu aveau o metodă de rezolvare a ecuației cubice generale.
CreștereEdit
Babilonienii au modelat creșterea exponențială, creșterea constrânsă (printr-o formă de funcții sigmoide) și timpul de dublare, acesta din urmă în contextul dobânzilor la împrumuturi.
Tabblițele de lut din c. 2000 î.Hr. includ exercițiul „Dată fiind o rată a dobânzii de 1/60 pe lună (fără compunere), calculați timpul de dublare”. Rezultă o rată anuală a dobânzii de 12/60 = 20% și, prin urmare, un timp de dublare de 100% creștere/20% creștere pe an = 5 ani.
Plimpton 322Edit
Tabloul Plimpton 322 conține o listă de „triple pitagoreice”, adică numere întregi ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}.
astfel încât a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
.triplele sunt prea multe și prea mari pentru a fi fost obținute prin forță brută.
S-au scris multe pe această temă, inclusiv unele speculații (poate anacronice) cu privire la posibilitatea ca tăblița să fi servit ca o tabelă trigonometrică timpurie. Trebuie avut grijă să vedem tăblița în termenii unor metode familiare sau accesibile scribilor din acea vreme.
Întrebarea „cum a fost calculată tăblița?” nu trebuie să aibă același răspuns ca și întrebarea „ce probleme stabilește tăblița?”. La prima se poate răspunde în modul cel mai satisfăcător prin perechi reciproce, așa cum a fost sugerat pentru prima dată acum o jumătate de secol, iar la a doua printr-un fel de probleme de triunghiuri drepte.
(E. Robson, „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometrieEdit
Babilonienii cunoșteau regulile comune de măsurare a volumelor și ariilor. Ei măsurau circumferința unui cerc ca fiind de trei ori diametrul și aria ca a douăsprezecea parte din pătratul circumferinței, ceea ce ar fi corect dacă π este estimat ca fiind 3. Ei erau conștienți că aceasta era o aproximare, iar o tăbliță matematică babiloniană veche excavată lângă Susa în 1936 (datată între secolele XIX și XVII î.Hr.) oferă o aproximare mai bună a lui π ca fiind 25/8 = 3.125, cu aproximativ 0,5 procente mai puțin decât valoarea exactă.Volumul unui cilindru era considerat ca fiind produsul dintre bază și înălțime; cu toate acestea, volumul trunchiului de con sau al unei piramide pătrate era considerat în mod incorect ca fiind produsul dintre înălțime și jumătate din suma bazelor. Teorema lui Pitagora era cunoscută și de babilonieni.
„Mila babiloniană” era o măsură de distanță egală cu aproximativ 11,3 km (sau aproximativ șapte mile moderne). această măsură pentru distanțe a fost în cele din urmă convertită într-o „milă-timp” folosită pentru a măsura deplasarea Soarelui, reprezentând, prin urmare, timpul.
Babilonienii antici cunoșteau de multe secole teoremele referitoare la raporturile dintre laturile triunghiurilor similare, dar le lipsea conceptul de măsură a unui unghi și, în consecință, studiau în schimb laturile triunghiurilor.
Astronomii babilonieni țineau înregistrări detaliate ale răsăritului și apusului stelelor, ale mișcării planetelor și ale eclipselor de Soare și Lună, toate acestea necesitând familiarizarea cu distanțele unghiulare măsurate pe sfera cerească.
Ei foloseau, de asemenea, o formă de analiză Fourier pentru a calcula efemeridele (tabele de poziții astronomice), care a fost descoperită în anii 1950 de Otto Neugebauer. Pentru a face calculele mișcărilor corpurilor cerești, babilonienii foloseau aritmetica de bază și un sistem de coordonate bazat pe ecliptică, partea cerului prin care se deplasează soarele și planetele.
Tabelele păstrate la British Museum oferă dovezi că babilonienii au mers chiar atât de departe încât să aibă un concept al obiectelor într-un spațiu matematic abstract. Tăblițele datează între 350 și 50 î.e.n., dezvăluind că babilonienii înțelegeau și foloseau geometria chiar mai devreme decât se credea anterior. Babilonienii foloseau o metodă de estimare a ariei de sub o curbă prin desenarea unui trapez dedesubt, o tehnică despre care se credea anterior că ar fi provenit din Europa secolului al XIV-lea. Această metodă de estimare le-a permis, de exemplu, să afle distanța parcursă de Jupiter într-un anumit interval de timp.
.