O matrice care este similară cu o matrice triunghiulară se numește triangularizabilă. În mod abstract, acest lucru este echivalent cu stabilizarea unui steag: matricile triunghiulare superioare sunt tocmai cele care păstrează steagul standard, care este dat de baza ordonată standard ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
și steagul rezultat 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\lelang e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\lelang e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Toate steagurile sunt conjugate (deoarece grupul liniar general acționează tranzitiv asupra bazelor), astfel încât orice matrice care stabilizează un steag este similară cu una care stabilizează steagul standard.
Orice matrice pătrată complexă este triangularizabilă. De fapt, o matrice A pe un câmp care conține toate valorile proprii ale lui A (de exemplu, orice matrice pe un câmp algebric închis) este similară cu o matrice triunghiulară. Acest lucru poate fi demonstrat prin utilizarea inducției asupra faptului că A are un vector propriu, prin luarea spațiului cotitor prin vectorul propriu și prin inducție pentru a arăta că A stabilizează un steag și, prin urmare, este triangularizabilă în raport cu o bază pentru acel steag.
O afirmație mai precisă este dată de teorema formei normale Jordan, care afirmă că, în această situație, A este similară unei matrice triunghiulare superioare de o formă foarte particulară. Rezultatul mai simplu al triangularizării este totuși adesea suficient și, în orice caz, este utilizat în demonstrarea teoremei formei normale Jordan.
În cazul matricelor complexe, este posibil să se spună mai multe despre triangularizare, și anume că orice matrice pătrată A are o descompunere Schur. Aceasta înseamnă că A este echivalentă unitar (adică similară, folosind o matrice unitară ca schimbare de bază) cu o matrice triunghiulară superioară; acest lucru rezultă prin luarea unei baze hermitiene pentru steag.
Triangularizabilitatea simultanăEdit
Un set de matrici A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}.
se spune că sunt simultan triunghiularizabile dacă există o bază sub care toate sunt triunghiulare superioare; în mod echivalent, dacă sunt triunghiularizabile superioare printr-o singură matrice de similitudine P. Un astfel de set de matrici este mai ușor de înțeles prin luarea în considerare a algebrei de matrici pe care o generează, și anume toate polinoamele din A i , {\displaystyle A_{i},}
notate K . {\displaystyle K.}
Triangularizabilitatea simultană înseamnă că această algebră este conjugată în subalgebra Lie a matricelor triunghiulare superioare și este echivalentă cu faptul că această algebră este o subalgebră Lie a unei subalgebre Borel.
Rezultatul de bază este că (pe un câmp algebric închis), matricile de comutare A , B {\displaystyle A,B}
sau, mai general, A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
sunt simultan triangulabile. Acest lucru poate fi demonstrat arătând mai întâi că matricile care se comută au un vector propriu comun și apoi inducând asupra dimensiunii ca mai înainte. Acest lucru a fost demonstrat de Frobenius, începând cu 1878, pentru o pereche comutativă, așa cum s-a discutat la matrici comutative. În ceea ce privește o singură matrice, în cazul numerelor complexe, acestea pot fi triunghiularizate prin matrici unitare.
Faptul că matricile comutative au un vector propriu comun poate fi interpretat ca un rezultat al Nullstellensatz al lui Hilbert: matricile comutative formează o algebră comutativă K {\displaystyle K}
peste K {\displaystyle K}
care poate fi interpretată ca o varietate în spațiul afine k-dimensional, iar existența unei valori proprii (comune) (și, prin urmare, a unui vector propriu comun) corespunde faptului că această varietate are un punct (nu este goală), ceea ce reprezintă conținutul Nullstellensatz (slab). În termeni algebrici, acești operatori corespund unei reprezentări algebrice a algebrei polinomiale în k variabile. Acest lucru este generalizat prin teorema lui Lie, care arată că orice reprezentare a unei algebre Lie rezolvabile este simultan triangularizabilă superior, cazul matricelor care se comută fiind cazul algebrei Lie abeliene, abeliană fiind a fortiori rezolvabilă.
Mai general și mai precis, un set de matrici A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
este simultan triangularizabil dacă și numai dacă matricea p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
este nilpotentă pentru toate polinoamele p în k variabile necomunicante, unde {\displaystyle }
este comutatorul; pentru A i comutatoare {\displaystyle A_{i}}
comutatorul dispare, astfel încât acest lucru este valabil. Acest lucru a fost demonstrat în (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); o scurtă demonstrație este prezentată în (Prasolov 1994, pp. 178-179). O direcție este clară: dacă matricile sunt simultan triangularizabile, atunci {\displaystyle }
este strict triangularizabilă superior (deci nilpotentă), ceea ce se păstrează prin înmulțirea cu orice A k {\displaystyle A_{k}}.
sau o combinație a acestora – va avea în continuare 0-uri pe diagonală în baza de triangularizare.