Alai

În analiza matematică, norma uniformă (sau norma sup) atribuie funcțiilor mărginite cu valori reale sau complexe f definite pe un set S numărul nenegativ

Perimetrul pătratului este setul de puncte din R2 în care norma sup este egală cu o constantă pozitivă fixă.

‖ f ‖ ∞ = ‖ f ‖ ∞ , S = sup { | | f ( x ) | : x ∈ S } . {\displaystyle \ |f\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\în S\,\right\}.}.

Această normă se mai numește și norma supremă, norma Chebyshev, norma infinitului sau, atunci când supremația este de fapt maximul, norma max. Denumirea de „normă uniformă” derivă din faptul că o secvență de funcții { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} converge la f {\displaystyle f} sub metrica derivată din norma uniformă dacă și numai dacă f n {\displaystyle f_{n}} converge la f {\displaystyle f} uniform.

Metrica generată de această normă se numește metrica Chebyshev, după numele lui Pafnuty Chebyshev, care a fost primul care a studiat-o în mod sistematic.

Dacă admitem funcții nemărginite, această formulă nu produce o normă sau o metrică în sens strict, deși așa-numita metrică extinsă obținută permite totuși definirea unei topologii pe spațiul de funcții în cauză.

Dacă f este o funcție continuă pe un interval închis sau, mai general, pe un ansamblu compact, atunci ea este mărginită, iar supremul din definiția de mai sus se obține prin teorema valorii extreme a lui Weierstrass, deci putem înlocui supremul cu maximul. În acest caz, norma se mai numește și norma maximă. în special, pentru cazul unui vector x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} în spațiul de coordonate cu dimensiuni finite, aceasta ia forma

‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , … , | x n | } . {\displaystyle \|x\||_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}

Motivul pentru indicele „∞” este că ori de câte ori f este continuă

lim p → ∞ ‖ f ‖ p = ‖ f ‖ ∞ , {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|f\|_{\infty },}

unde

‖ f ‖ p = ( ∫ D | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\ dreapta|^{p}\,d\mu \ dreapta)^{1/p}}}

unde D este domeniul lui f (iar integrala echivalează cu o sumă dacă D este un ansamblu discret).

Funcția binară

d ( f , g ) = ‖ f – g ‖ ∞ {\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}}.

este atunci o metrică pe spațiul tuturor funcțiilor mărginite (și, evident, oricare dintre subseturile sale) pe un anumit domeniu. O secvență { fn : n = 1, 2, 3, … } converge uniform către o funcție f dacă și numai dacă

lim n → ∞ ‖ f n – f ‖ ∞ = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}

Putem defini seturi închise și închideri de seturi în raport cu această topologie metrică; seturile închise în norma uniformă se numesc uneori uniform închise, iar închiderile închideri uniforme. Închiderea uniformă a unui ansamblu de funcții A este spațiul tuturor funcțiilor care pot fi aproximate printr-o secvență de funcții uniform-convergente pe A. De exemplu, o reformulare a teoremei Stone-Weierstrass este că ansamblul tuturor funcțiilor continue pe {\displaystyle } este închiderea uniformă a setului de polinoame pe {\displaystyle }. .

Pentru funcțiile continue complexe pe un spațiu compact, acest lucru îl transformă într-o algebră C*.

.