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In matematica, la base standard (chiamata anche base naturale) di uno spazio vettoriale di coordinate è l’insieme dei vettori le cui coordinate sono tutte zero, tranne una che è uguale a 1. Per esempio, nel caso del piano euclideo formato dalle coppie (x, y) di numeri reali, la base standard è formata dai vettori

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quadro \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Ogni vettore a in tre dimensioni è una combinazione lineare dei vettori base standard i, j, e k.

Similmente, la base standard per lo spazio tridimensionale è formata dai vettori

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quadro \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quadro \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Qui il vettore ex punta nella direzione x, il vettore ey punta nella direzione y, e il vettore ez punta nella direzione z. Ci sono diverse notazioni comuni per i vettori a base standard, tra cui {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k}, e {x, y, z}. Questi vettori sono talvolta scritti con un cappello per sottolineare il loro status di vettori unitari (vettori unitari standard).

Questi vettori sono una base nel senso che qualsiasi altro vettore può essere espresso univocamente come una combinazione lineare di questi. Per esempio, ogni vettore v nello spazio tridimensionale può essere scritto univocamente come

v x e x + v y e y + v z e z , {displaystyle v_{x},\mathbf {e} _{x}+v_{y},\mathbf {e} _{y}+v_{z},v_{x},{mathbf {e} _{z},} v_{x}+v_{y},{mathbf {e}_{y}+v_{z},{mathbf {e}}_{z},

gli scalari vx, vy, vz sono le componenti scalari del vettore v.

Nello spazio euclideo n-dimensionale R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , la base standard consiste di n vettori distinti

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

dove ei indica il vettore con un 1 nell’iesima coordinata e 0 altrove.

Basi standard possono essere definite per altri spazi vettoriali, la cui definizione implica coefficienti, come polinomi e matrici. In entrambi i casi, la base standard consiste negli elementi dello spazio tali che tutti i coefficienti tranne uno sono 0 e quello non nullo è 1. Per i polinomi, la base standard consiste quindi nei monomi ed è comunemente chiamata base monomia. Per le matrici M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} , la base standard consiste nelle matrici m×n con esattamente una voce non zero, che è 1. Per esempio, la base standard per le matrici 2×2 è formata dalle 4 matrici

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . {\Displaystyle \mathbf {e} _{11}={ inizio matrice 1&0\0&0 fine matrice}},\quadro \mathbf {e} _{12}={ inizio matrice 0&1\0&0 fine matrice}},\quadro \mathbf {e} _{21}={ inizio matrice 0&0\1&0 fine matrice}},\quadro \mathbf {e} _{22}={ inizio matrice 0&0\0&1 fine matrice}}.}