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Che cos’è la matematica? Un po’ di storia La matematica come disciplina La bellezza della matematica Soluzione dei problemi Osservazioni finali Che cos’è la matematica? La matematica è una disciplina (campo di studio) antica, ampia e profonda. Le persone che lavorano per migliorare l’educazione matematica hanno bisogno di capire “Che cos’è la matematica?”

Un po’ di storia

La matematica come area formale di insegnamento e apprendimento fu sviluppata circa 5.000 anni fa dai Sumeri. L’hanno fatto nello stesso periodo in cui hanno sviluppato la lettura e la scrittura. Tuttavia, le radici della matematica risalgono a molto più di 5.000 anni fa.

Nel corso della loro storia, gli esseri umani hanno affrontato la necessità di misurare e comunicare su tempo, quantità e distanza. L’osso di Ishango (vedi ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html e http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
it/ishango/riddle.html) è un manico d’osso antico di circa 20.000 anni.

L’immagine che segue mostra dei gettoni d’argilla sumeri il cui uso iniziò circa 11.000 anni fa (vedi http://www.sumerian.org/tokens.htm). Tali gettoni d’argilla erano un predecessore della lettura, della scrittura e della matematica.

Lo sviluppo della lettura, della scrittura e della matematica formale 5.000 anni fa ha permesso la codificazione della conoscenza matematica, l’istruzione formale in matematica e ha iniziato un costante accumulo di conoscenza matematica.

La matematica come disciplina

Una disciplina (un campo di studio organizzato e formale) come la matematica tende ad essere definita dai tipi di problemi che affronta, dai metodi che usa per affrontare questi problemi e dai risultati che ha ottenuto. Un modo per organizzare questo insieme di informazioni è quello di dividerlo nelle seguenti tre categorie (naturalmente, si sovrappongono l’un l’altro):

1. La matematica come sforzo umano. Per esempio, si consideri la matematica della misurazione del tempo come anni, stagioni, mesi, settimane, giorni e così via. Oppure, considera la misurazione della distanza e i diversi sistemi di misurazione della distanza che si sono sviluppati in tutto il mondo. Oppure, pensa alla matematica nell’arte, nella danza e nella musica. C’è una ricca storia di sviluppo umano della matematica e degli usi matematici nella nostra società moderna.
2. La matematica come disciplina. Avete familiarità con molte discipline accademiche come archeologia, biologia, chimica, economia, storia, psicologia, sociologia e così via. La matematica è una disciplina ampia e profonda che continua a crescere in ampiezza e profondità. Al giorno d’oggi, una tesi di dottorato di ricerca in matematica è tipicamente focalizzata su definizioni, teoremi e prove relative a un singolo problema in un ristretto sottocampo della matematica.
3. La matematica come linguaggio e strumento interdisciplinare. Come la lettura e la scrittura, la matematica è una componente importante dell’apprendimento e del “fare” (usare la propria conoscenza) in ogni disciplina accademica. La matematica è un linguaggio e uno strumento così utile che è considerata una delle “basi” nel nostro sistema educativo formale.

In larga misura, gli studenti e molti dei loro insegnanti tendono a definire la matematica in termini di ciò che imparano nei corsi di matematica, e questi corsi tendono a concentrarsi sul #3. L’attenzione didattica e di valutazione tende ad essere sulle abilità di base e sulla risoluzione di problemi relativamente semplici usando queste abilità di base. Come indica la discussione a tre componenti di cui sopra, questa è solo una parte della matematica.

Anche all’interno della terza componente, non è chiaro cosa dovrebbe essere enfatizzato nel curriculum, nell’istruzione e nella valutazione. La questione delle competenze di base rispetto alle competenze di ordine superiore è particolarmente importante nell’educazione matematica. Quanto tempo dell’educazione matematica dovrebbe essere speso per aiutare gli studenti ad ottenere un alto livello di accuratezza e automaticità nelle abilità computazionali e procedurali di base? Quanto tempo dovrebbe essere speso per le abilità di ordine superiore come la risoluzione di problemi, la rappresentazione di problemi, la risoluzione di problemi complessi e il trasferimento di conoscenze e abilità matematiche a problemi in discipline non matematiche?

La bellezza della matematica

Relativamente pochi insegnanti K-12 studiano abbastanza matematica da capire e apprezzare l’ampiezza, la profondità, la complessità e la bellezza della disciplina. I matematici parlano spesso della bellezza di una particolare dimostrazione o risultato matematico. Ricordi qualcuno dei tuoi insegnanti di matematica K-12 che abbia mai parlato della bellezza della matematica?

G. H. Hardy è stato uno dei principali matematici del mondo nella prima metà del 20° secolo. Nel suo libro “A Mathematician’s Apology” elabora a lungo le differenze tra matematica pura e applicata. Discute due esempi di (bei) problemi di matematica pura. Questi sono problemi che alcuni studenti delle scuole medie e superiori potrebbero benissimo risolvere, ma sono abbastanza diversi dai tipi di matematica affrontati nel nostro attuale curriculum K-12. Entrambi questi problemi sono stati risolti più di 2.000 anni fa e sono rappresentativi di ciò che fanno i matematici.

1. Un numero razionale è un numero che può essere espresso come frazione di due interi. Dimostrare che la radice quadrata di 2 non è un numero razionale. Si noti che la radice quadrata di 2 si presenta in modo naturale quando si usano tecniche di sondaggio del terreno e di carpenteria.
2. Un numero primo è un numero intero positivo maggiore di 1 i cui unici divisori interi positivi sono se stesso e 1. Dimostrare che esiste un numero infinito di numeri primi. Negli ultimi anni, i numeri primi molto grandi sono emersi come abbastanza utili nella crittografia dei messaggi elettronici.

Soluzione dei problemi

Il seguente diagramma può essere usato per discutere la rappresentazione e la risoluzione di problemi di matematica applicata a livello K-12. Questo diagramma è particolarmente utile nelle discussioni sull’attuale curriculum di matematica K-12.

I sei passi illustrati sono 1) Porre il problema; 2) Modellazione matematica; 3) Usare una procedura computazionale o algoritmica per risolvere un problema matematico computazionale o algoritmico; 4) “smodellazione” matematica; 5) Pensare ai risultati per vedere se il problema chiaramente definito è stato risolto, e 6) Pensare se la situazione originale del problema è stata risolta. I passi 5 e 6 coinvolgono anche il pensare ai problemi correlati e alle situazioni problematiche che si potrebbero voler affrontare o che sono stati creati dal processo o dal tentativo di risolvere il problema originale chiaramente definito o di risolvere la situazione problematica originale. Clicca qui per maggiori informazioni sul problem solving.

Osservazioni finali

Qui ci sono quattro punti molto importanti che emergono dalla considerazione del diagramma nella Figura 3 e dal materiale precedente presentato in questa sezione:

1. La matematica è un aiuto per rappresentare e tentare di risolvere situazioni problematiche in tutte le discipline. È uno strumento e un linguaggio interdisciplinare.
2. I computer e le calcolatrici sono estremamente veloci, accurati e capaci di fare il passo 3.
3. Il nostro attuale curriculum di matematica K-12 spende la maggior parte del suo tempo insegnando agli studenti a fare il passo 3 usando gli strumenti mentali e fisici (come carta e matita) che sono stati usati per centinaia di anni. Possiamo pensare a questo come a insegnare agli studenti a competere con le macchine, piuttosto che a lavorare con le macchine.
4. Il nostro attuale sistema educativo di matematica ai livelli PreK-12 è sbilanciato tra le conoscenze e le abilità di ordine inferiore (con troppa enfasi sul Passo 3 nel diagramma) e le conoscenze e le abilità di ordine superiore (tutti gli altri passi nel diagramma). È debole nella matematica come sforzo umano e come disciplina di studio.

Ci sono tre potenti agenti di cambiamento che alla fine faciliteranno e forzeranno importanti cambiamenti nel nostro sistema educativo matematico.

• La scienza del cervello, che è notevolmente aiutata da apparecchiature di scansione del cervello e dalla mappatura e modellazione al computer delle attività del cervello, sta aggiungendo significativamente alla nostra comprensione di come il cervello impara la matematica e usa le sue conoscenze e abilità matematiche.
• Il computer e la tecnologia dell’informazione stanno fornendo potenti aiuti a molte aree di ricerca diverse (come la scienza del cervello), all’insegnamento della matematica (per esempio, attraverso l’uso dell’apprendimento intelligente altamente interattivo assistito dal computer, forse fornito su Internet), al contenuto della matematica (per esempio, la matematica computazionale), e alla rappresentazione e automazione della parte “procedure” del fare matematica.
• La crescita costante della totalità della conoscenza matematica e delle sue applicazioni per rappresentare e aiutare a risolvere i problemi in tutte le discipline accademiche.

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