La maggior parte delle tavolette d’argilla che descrivono la matematica babilonese appartengono all’Antica Babilonia, motivo per cui la matematica della Mesopotamia è comunemente conosciuta come matematica babilonese. Alcune tavolette d’argilla contengono liste e tabelle matematiche, altre contengono problemi e soluzioni lavorate.
AritmeticaModifica
I Babilonesi usavano tavole precalcolate per aiutare l’aritmetica. Per esempio, due tavolette trovate a Senkerah sull’Eufrate nel 1854, risalenti al 2000 a.C., danno liste dei quadrati dei numeri fino a 59 e dei cubi dei numeri fino a 32. I Babilonesi usavano le liste dei quadrati insieme alle formule:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {displaystyle ab={{frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}
per semplificare la moltiplicazione.
I Babilonesi non avevano un algoritmo per la divisione lunga. Invece basavano il loro metodo sul fatto che:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a volte {\frac {1}{b}}}
insieme ad una tabella di reciproci. I numeri i cui unici fattori primi sono 2, 3 o 5 (noti come numeri 5-lisci o regolari) hanno reciproci finiti in notazione sessagesimale, e sono state trovate tabelle con ampie liste di questi reciproci.
I reciproci come 1/7, 1/11, 1/13, ecc. non hanno rappresentazioni finite in notazione sessagesimale. Per calcolare 1/13 o per dividere un numero per 13 i Babilonesi usavano un’approssimazione come:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {1}{13}}={frac {7}{91}}=7 volte {frac {1}{91}}approssimativamente 7 volte {frac {1}{90}}=7 volte {frac {40}{3600}}={frac {280}{3600}={4}{60}+{frac {40}{3600}.}
AlgebraEdit
La tavoletta d’argilla babilonese YBC 7289 (1800-1600 a.C. circa) dà un’approssimazione di √2 in quattro cifre sessagesimali, 1;24,51,10, che è accurata fino a circa sei cifre decimali, ed è la più vicina possibile rappresentazione sessagesimale a tre posti di √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1.41421 296 ¯ . {1+{{frac {24}{60}}+{frac {51}{60^{2}}+{frac {10}{60^{3}}={30547}{21600}=1,41421{overline {296}.}
Oltre ai calcoli aritmetici, i matematici babilonesi svilupparono anche metodi algebrici per risolvere equazioni. Ancora una volta, questi erano basati su tabelle precalcolate.
Per risolvere un’equazione quadratica, i babilonesi usavano essenzialmente la formula quadratica standard. Hanno considerato equazioni quadratiche della forma:
x 2 + b x = c {\displaystyle \x^{2}+bx=c}
dove b e c non erano necessariamente interi, ma c era sempre positivo. Sapevano che una soluzione a questa forma di equazione è:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {displaystyle x=-{frac {b}{2}}+{sqrt {sinistra({frac {b}{2}} destra)^{2}+c}}}
e hanno trovato le radici quadrate in modo efficiente usando la divisione e la media. Usavano sempre la radice positiva perché questo aveva senso quando si risolvevano problemi “reali”. Problemi di questo tipo includevano trovare le dimensioni di un rettangolo data la sua area e la quantità di cui la lunghezza supera la larghezza.
Tabelle di valori di n3 + n2 erano usate per risolvere certe equazioni cubiche. Per esempio, si consideri l’equazione:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Moltiplicando l’equazione per a2 e dividendo per b3 si ottiene:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {Se l’equazione di a2 e b3 è stata calcolata per a2 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3, si ottiene: (a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 .
Sostituendo y = ax/b si ottiene:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {displaystyle y^{3}+y^{2}={frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
che poteva ora essere risolto cercando la tabella n3 + n2 per trovare il valore più vicino al lato destro. I Babilonesi hanno fatto questo senza notazione algebrica, mostrando una notevole profondità di comprensione. Tuttavia, non avevano un metodo per risolvere l’equazione cubica generale.
CrescitaModifica
I babilonesi modellavano la crescita esponenziale, la crescita vincolata (attraverso una forma di funzioni sigmoidi) e il tempo di raddoppio, quest’ultimo nel contesto dell’interesse sui prestiti.
Le tavolette di argilla del 2000 a.C. circa includono l’esercizio “Dato un tasso di interesse di 1/60 al mese (non composto), calcola il tempo di raddoppio”. Questo produce un tasso di interesse annuale di 12/60 = 20%, e quindi un tempo di raddoppio del 100% di crescita/20% di crescita all’anno = 5 anni.
Plimpton 322Modifica
La tavoletta Plimpton 322 contiene una lista di “triple pitagoriche”, cioè, interi ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}
tali che a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Le triple sono troppo numerose e troppo grandi per essere state ottenute con la forza bruta.
Si è scritto molto sull’argomento, comprese alcune speculazioni (forse anacronistiche) sul fatto che la tavoletta possa essere servita come una prima tavola trigonometrica. Bisogna fare attenzione a vedere la tavoletta in termini di metodi familiari o accessibili agli scribi dell’epoca.
La domanda “come è stata calcolata la tavoletta?” non deve avere la stessa risposta della domanda “quali problemi pone la tavoletta?” Alla prima si può rispondere in modo più soddisfacente con le coppie reciproche, come suggerito per la prima volta mezzo secolo fa, e alla seconda con una sorta di problemi di triangoli retti.
(E. Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometriaModifica
I Babilonesi conoscevano le regole comuni per misurare volumi e aree. Misuravano la circonferenza di un cerchio come tre volte il diametro e l’area come un dodicesimo del quadrato della circonferenza, che sarebbe corretto se π è stimato come 3. Erano consapevoli che questa era un’approssimazione, e una vecchia tavoletta matematica babilonese scavata vicino a Susa nel 1936 (datata tra il 19° e il 17° secolo a.C.) dà una migliore approssimazione di π come 25/8 = 3.125, circa lo 0,5% al di sotto del valore esatto.Il volume di un cilindro è stato preso come il prodotto della base e dell’altezza, tuttavia, il volume del tronco di un cono o di una piramide quadrata è stato erroneamente preso come il prodotto dell’altezza e metà della somma delle basi. Il teorema di Pitagora era noto anche ai Babilonesi.
Il “miglio babilonese” era una misura di distanza pari a circa 11,3 km (o circa sette miglia moderne).Questa misura per le distanze alla fine fu convertita in un “miglio-tempo” usato per misurare il viaggio del Sole, rappresentando quindi il tempo.
Gli antichi babilonesi conoscevano i teoremi sui rapporti dei lati di triangoli simili da molti secoli, ma non avevano il concetto di misura dell’angolo e di conseguenza studiavano invece i lati dei triangoli.
Gli astronomi babilonesi tenevano registrazioni dettagliate del sorgere e del tramontare delle stelle, del moto dei pianeti e delle eclissi solari e lunari, tutte cose che richiedevano familiarità con le distanze angolari misurate sulla sfera celeste.
Hanno anche usato una forma di analisi di Fourier per calcolare le effemeridi (tabelle di posizioni astronomiche), che è stata scoperta negli anni ’50 da Otto Neugebauer. Per fare i calcoli dei movimenti dei corpi celesti, i Babilonesi usavano l’aritmetica di base e un sistema di coordinate basato sull’eclittica, la parte del cielo che il sole e i pianeti percorrono.
Le tavolette conservate al British Museum forniscono la prova che i Babilonesi arrivarono persino ad avere un concetto di oggetti in uno spazio matematico astratto. Le tavolette risalgono a un periodo compreso tra il 350 e il 50 a.C., rivelando che i Babilonesi comprendevano e utilizzavano la geometria anche prima di quanto si pensasse. I Babilonesi usavano un metodo per stimare l’area sotto una curva disegnando un trapezio sotto, una tecnica che in precedenza si credeva essere nata nel XIV secolo in Europa. Questo metodo di stima permetteva loro, per esempio, di trovare la distanza che Giove aveva percorso in un certo lasso di tempo.