Una matrice che è simile a una matrice triangolare è detta triangolabile. Astrattamente, questo equivale a stabilizzare una bandiera: le matrici triangolari superiori sono precisamente quelle che conservano la bandiera standard, che è data dalla base ordinata standard ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
e la bandiera risultante 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\code(0144)}0<leftlangle e_{1}right\rangle <leftlangle e_{1},e_{2}\right\rangle <cdots <leftlangle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Tutte le bandiere sono coniugate (poiché il gruppo lineare generale agisce transitivamente sulle basi), quindi qualsiasi matrice che stabilizza una bandiera è simile a una che stabilizza la bandiera standard.
Ogni matrice quadrata complessa è triangolabile. Infatti, una matrice A su un campo contenente tutti gli autovalori di A (per esempio, qualsiasi matrice su un campo algebricamente chiuso) è simile a una matrice triangolare. Questo può essere dimostrato usando l’induzione sul fatto che A ha un autovettore, prendendo lo spazio quoziente per l’autovettore e inducendo a mostrare che A stabilizza una bandiera, e quindi è triangolabile rispetto a una base per quella bandiera.
Un’affermazione più precisa è data dal teorema della forma normale di Jordan, che afferma che in questa situazione, A è simile a una matrice triangolare superiore di una forma molto particolare. Il risultato di triangolarizzazione più semplice è comunque spesso sufficiente, e in ogni caso utilizzato per dimostrare il teorema della forma normale di Jordan.
Nel caso delle matrici complesse, è possibile dire di più sulla triangolarizzazione, cioè che qualsiasi matrice quadrata A ha una decomposizione di Schur. Questo significa che A è unitariamente equivalente (cioè simile, usando una matrice unitaria come cambio di base) a una matrice triangolare superiore; questo segue prendendo una base hermitiana per la bandiera.
Simultanea triangolabilitàModifica
Un insieme di matrici A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
si dice che sono simultaneamente triangolabili se esiste una base sotto la quale sono tutte triangolari superiori; equivalentemente, se sono triangolabili superiori da una sola matrice di similarità P. Un tale insieme di matrici è più facilmente comprensibile considerando l’algebra di matrici che esso genera, cioè tutti i polinomi nella A i , {displaystyle A_{i},}
denotato K . {\displaystyle K.}
La triangolabilità simultanea significa che questa algebra è coniugata nella sottoalgebra di Lie delle matrici triangolari superiori, ed è equivalente a questa algebra che è una sottoalgebra di Lie di una sottoalgebra di Borel.
Il risultato fondamentale è che (su un campo algebricamente chiuso), le matrici pendolari A , B {\displaystyle A,B}
o più generalmente A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
sono contemporaneamente triangolabili. Questo può essere dimostrato mostrando prima che le matrici pendolari hanno un autovettore comune, e poi inducendo sulla dimensione come prima. Questo è stato dimostrato da Frobenius, a partire dal 1878 per una coppia pendolare, come discusso in matrici pendolari. Come per una matrice singola, sui numeri complessi questi possono essere triangolati da matrici unitarie.
Il fatto che le matrici pendolari abbiano un autovettore comune può essere interpretato come un risultato della Nullstellensatz di Hilbert: le matrici pendolari formano un’algebra commutativa K
su K
che può essere interpretata come una varietà nello spazio affine k-dimensionale, e l’esistenza di un autovalore (comune) (e quindi di un autovettore comune) corrisponde al fatto che questa varietà abbia un punto (non vuoto), che è il contenuto della (debole) Nullstellensatz. In termini algebrici, questi operatori corrispondono a una rappresentazione algebrica dell’algebra polinomiale in k variabili.
Questo è generalizzato dal teorema di Lie, che mostra che qualsiasi rappresentazione di un’algebra di Lie risolvibile è simultaneamente triangolabile superiormente, il caso delle matrici pendolari è il caso dell’algebra di Lie abeliana, essendo l’abeliana a fortiori risolvibile.
Più generalmente e precisamente, un insieme di matrici A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
è contemporaneamente triangolabile se e solo se la matrice p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
è nilpotente per tutti i polinomi p in k variabili non commutative, dove {\displaystyle }
è il commutatore; per A i pendolari {displaystyle A_{i}
il commutatore svanisce quindi questo vale. Questo è stato dimostrato in (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); una breve dimostrazione è data in (Prasolov 1994, pp. 178-179). Una direzione è chiara: se le matrici sono simultaneamente triangolabili, allora {\displaystyle }
è strettamente triangolabile superiormente (quindi nilpotente), il che è conservato dalla moltiplicazione per qualsiasi A k {\displaystyle A_{k}}
o una loro combinazione – avrà ancora degli 0 sulla diagonale nella base di triangolazione.