De flesta lertavlor som beskriver babylonisk matematik tillhör den gammalbabyloniska, vilket är anledningen till att matematiken i Mesopotamien vanligtvis kallas babylonisk matematik. Vissa lertavlor innehåller matematiska listor och tabeller, andra innehåller problem och utarbetade lösningar.
AritmetikRedigera
Babylonierna använde förberäknade tabeller som hjälp vid aritmetik. Två tavlor som hittades i Senkerah vid Eufrat 1854 och som är daterade till 2000 f.Kr. innehåller t.ex. förteckningar över kvadrater för tal upp till 59 och kuber för tal upp till 32. Babylonierna använde listorna över kvadrater tillsammans med formlerna:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}}{2}}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}}
för att förenkla multiplikation.
Babylonierna hade ingen algoritm för lång division. Istället baserade de sin metod på det faktum att:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}}=a\times {\frac {1}{b}}}}
tillsammans med en tabell över reciproker. Tal vars enda primfaktorer är 2, 3 eller 5 (kända som 5-smooth eller reguljära tal) har ändliga reciproker i sexagesimal notation, och tabeller med omfattande listor över dessa reciproker har hittats.
Reciproker som 1/7, 1/11, 1/13 etc. har inte ändliga representationer i sexagesimal notation. För att beräkna 1/13 eller för att dividera ett tal med 13 skulle babylonierna använda en approximation som:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
Den babyloniska lertavlan YBC 7289 (ca 1800-1600 f.Kr.) ger en approximation av √2 i fyra sexsiffriga siffror, 1;24,51,10, som är exakt till ungefär sex decimaler, och är den närmaste möjliga sexsiffriga treställiga sexsiffriga representationen av √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}}=1.41421{\overline {296}}.}
Som aritmetiska beräkningar utvecklade de babyloniska matematikerna också algebraiska metoder för att lösa ekvationer. Återigen var dessa baserade på i förväg beräknade tabeller.
För att lösa en kvadratisk ekvation använde babylonierna i huvudsak den vanliga kvadratiska formeln. De betraktade kvadratiska ekvationer av formen:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
där b och c inte nödvändigtvis var heltal, men c var alltid positiv. De visste att en lösning till denna form av ekvation är:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}}\right)^{2}+c}}}}
och de hittade kvadratrötter effektivt genom att använda division och medelvärdesbildning. De använde alltid den positiva roten eftersom detta var vettigt när de löste ”riktiga” problem. Problem av denna typ var bland annat att hitta måtten på en rektangel givet dess area och det belopp med vilket längden överstiger bredden.
Tabeller med värden för n3 + n2 användes för att lösa vissa kubiska ekvationer. Tänk till exempel på ekvationen:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicera ekvationen med a2 och dividera med b3 ger:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}}{b^{3}}}.}
Substitution av y = ax/b ger:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
som nu kan lösas genom att slå upp n3 + n2-tabellen för att hitta det värde som ligger närmast höger sida. Babylonierna åstadkom detta utan algebraisk notation, vilket visar på en anmärkningsvärt djup förståelse. De hade dock ingen metod för att lösa den allmänna kubiska ekvationen.
TillväxtEdit
Babylonierna modellerade exponentiell tillväxt, begränsad tillväxt (via en form av sigmoidfunktioner) och fördubblingstid, det sistnämnda i samband med låneränta.
Tavlor i lera från ca 2000 f.Kr. innehåller övningen ”Givet en räntesats på 1/60 per månad (ingen sammansättning), beräkna fördubblingstiden”. Detta ger en årlig ränta på 12/60 = 20 % och därmed en fördubblingstid på 100 % tillväxt/20 % tillväxt per år = 5 år.
Plimpton 322Edit
Plimpton 322-tabletten innehåller en lista över ”pythagoriska triplar”, det vill säga heltal ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}
så att a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Tripplarna är för många och för stora för att ha erhållits med råge force.
Mycket har skrivits om ämnet, inklusive vissa spekulationer (kanske anakronistiska) om huruvida tavlan kan ha fungerat som en tidig trigonometrisk tabell. Man måste vara försiktig med att se tavlan i termer av metoder som var bekanta eller tillgängliga för de skriftlärda vid den tiden.
Frågan ”hur beräknades tavlan?” behöver inte ha samma svar som frågan ”vilka problem ställer tavlan?”. Det första kan besvaras mest tillfredsställande genom ömsesidiga par, vilket först föreslogs för ett halvt sekel sedan, och det andra genom någon form av problem med rätvinkliga trianglar.
(E. Robson, ”Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), s. 202).
GeometriRedigera
Babylonierna kände till de vanliga reglerna för att mäta volymer och areor. De mätte en cirkels omkrets som tre gånger diametern och arean som en tolftedel av omkretsens kvadrat, vilket skulle vara korrekt om π uppskattas till 3. De var medvetna om att detta var en approximation, och en gammalbabylonisk matematiskt tavla som grävdes ut i närheten av Susa 1936 (daterad till mellan 1800- och 1600-talet f.v.t.) ger en bättre approximation av π som 25/8 = 3.125, cirka 0,5 procent under det exakta värdet.Volymen av en cylinder togs som produkten av basen och höjden, men volymen av en kägelstump eller en kvadratisk pyramid togs felaktigt som produkten av höjden och halva summan av baserna. Pythagoras sats var också känd av babylonierna.
Den ”babyloniska milen” var ett avståndsmått som motsvarade ungefär 11,3 km (eller ungefär sju moderna mil).Detta avståndsmått omvandlades så småningom till en ”tidsmil” som användes för att mäta solens färd, och som därför representerar tiden.
De gamla babylonierna hade känt till satser om förhållandet mellan sidorna av liknande trianglar i många århundraden, men de saknade begreppet vinkelmått och studerade följaktligen sidorna av trianglar i stället.
De babyloniska astronomerna förde detaljerade anteckningar om stjärnornas upp- och nedgång, planeternas rörelse samt sol- och månförmörkelser, som alla krävde förtrogenhet med vinkelavstånd uppmätta på himmelssfären.
De använde också en form av Fourieranalys för att beräkna efemerider (tabeller över astronomiska positioner), vilket upptäcktes på 1950-talet av Otto Neugebauer. För att göra beräkningar av himlakropparnas rörelser använde babylonierna grundläggande aritmetik och ett koordinatsystem baserat på ekliptikan, den del av himlen som solen och planeterna färdas genom.
Tabeller som förvaras i British Museum ger bevis för att babylonierna till och med gick så långt att de hade ett begrepp om objekt i ett abstrakt matematiskt rum. Tavlorna är daterade mellan 350 och 50 f.Kr. och avslöjar att babylonierna förstod och använde geometri ännu tidigare än vad man tidigare trott. Babylonierna använde en metod för att uppskatta arean under en kurva genom att rita en trapets under den, en teknik som man tidigare trott hade sitt ursprung i 1300-talets Europa. Denna uppskattningsmetod gjorde det möjligt för dem att till exempel ta reda på hur långt Jupiter hade färdats på en viss tid.