Författarna till forall x ger denna definition av giltighet (sidan 8):
Ett argument är giltigt om och endast om det är omöjligt att alla premisser är sanna och slutsatsen falsk.
De hänvisar också till detta som ”validitet i kraft av formen” (sidan 21):
Giltigheten hos de argument som just betraktats har inte särskilt mycket att göra med betydelsen av engelska uttryck som ”Jenny är olycklig”, ”Dipan är en ivrig läsare av Tolstoj” eller ”Jim har medverkat i många pjäser”. Om det överhuvudtaget har med betydelser att göra så är det med betydelsen av fraser som ”and”, ”or”, ”not” och ”if…, then…”.
En sådan giltighet kan automatiskt bekräftas med hjälp av korrekturläsare. Under förutsättning att beviskontrollen inte är dåligt konstruerad, om det argument som vi matar in i beviskontrollen klarar sig, så är det giltigt i kraft av formen.
Tänk på meningen ”Det regnar”. Negationen av denna mening skulle kunna skrivas som ”Det är inte så att det regnar”. Låt oss symbolisera ”Det regnar” med ”P”. Då skulle dess negation vara ”¬P”. En självmotsägande mening som byggs upp av dessa två skulle vara ”P ∧ ¬P”, det vill säga både ”P” och ”¬P”.
Med detta som premiss kan vi konstruera ett giltigt argument i kraft av formen? Ja, det kan vi. Här är ett exempel där jag försöker visa att ”P ∧ ¬P” innebär ”P”.
Den första raden är förutsättningen. Jag får den andra raden genom att använda regeln för eliminering av konjunktioner (∧E) som gör det möjligt för mig att använda endera sidan av konjunktionen (∧) i mitt argument. Det visar sig att det jag använde, ”P”, var det jag ville visa och därför verifierade beviskontrollen att jag nådde mitt mål.
Det kan verka märkligt att jag, givet en självmotsägande premiss, kunde konstruera ett giltigt argument som visar att en av konjunktionerna i den självmotsägande premissen följde. Det kan bli ännu märkligare.
Med lite mer arbete kan jag visa att vad som helst följer av en självmotsägelsefull premiss. Låt ”Q” vara symboliseringen för vad som helst. Detta exempel visar att jag kan konstruera ett giltigt argument i kraft av formen för ”Q”:
Den första raden innehöll den självmotsägelsefulla premissen som i det föregående exemplet.
På rad 2 och 3 använde jag konjunktionseliminering (∧E) på båda sidor av premissen (rad 1) för att placera dessa på separata rader.
När jag väl har dem på separata rader kan jag använda regeln om motsägelseinledning (⊥I) för att på rad 4 notera att jag har en motsägelse (⊥).
På rad 5 kan jag, eftersom jag har en motsägelse, skriva vad jag vill. Detta kallas explosionsregeln (X). Eftersom mitt mål är ”Q” och jag enligt reglerna kan skriva vad jag vill, skriver jag ”Q”. Beviskontrollen verifierar att jag har nått mitt mål.
För mer information om dessa regler, se kapitel 15 ”Grundläggande regler för TFL” in forall x.