Alai

INLEDNING

Logik är studiet av mönstren i ett sammanhängande eller konsekvent tal. Dess viktigaste tillämpningar är sökandet efter inkonsekvenser i berättelser eller rapporter och identifiering av giltiga och ogiltiga former av resonemang eller argumentation.

Logiken vilar på det faktum att det finns påståenden som med nödvändighet är sanna och därför inte kan falsifieras oavsett vad som är eller inte är fallet. Sådana påståenden kallas tautologier. Här är några enkla exempel på tautologiska påståenden:

• Det regnar eller så regnar det inte.
• Pojkar är pojkar.
• Ingen cirkel är en rektangel.

Om tautologier är sanna oavsett vad som är eller inte är fallet är det helt enkelt omöjligt att hitta, konstruera eller ens föreställa sig ett motexempel (en situation där tautologin inte skulle vara sann). Av samma anledning är negationen av en tautologi nödvändigtvis falsk och kan därför inte verifieras oavsett vad som är eller inte är fallet. Negationer av tautologier kallas motsägelser. Det är omöjligt att hitta, konstruera eller ens föreställa sig ett exempel (en situation där motsägelsen skulle vara ett sant påstående). Här är de motsägelsefulla påståenden som är negationer av de tautologier som anges ovan:

• Det regnar och det regnar inte.
• En viss pojke är inte en pojke.
• En viss cirkel är en rektangel.

Insammanhängande tal innebär att talaren befinner sig i en motsägelse, som kan vara mer eller mindre uppenbar för hans åhörare eller så väl dold i hans argumentation att endast en flitig logisk analys kan få den att framträda i ljuset.

PRINCIPER

I följande tabell listar vi några grundläggande principer för logik. Var och en av dem är en tautologi.

För att minimera eller eliminera den risk som det naturliga språkets tvetydigheter innebär, använder logiker ofta ett enklare men otvetydigt ”formellt” språk. Till exempel skulle en enkel partiell formalisering av de principer som nämns ovan vara:

För många ändamål kommer logiker att utveckla formaliseringar som är mer sofistikerade än den här. För andra ändamål är ingen formalisering nödvändig.

För att tala eller skriva logiskt bör man inte uttryckligen eller underförstått motsäga någon av de principer som anges i tabellen.

Till exempel:

Det är ologiskt att säga om sig själv

• att man inte är något ting (vilket bryter mot ”Existens”)

• att man inte är du (vilket bryter mot ”Identitet”)

• att man är jag (vilket bryter mot ”Uniqueness”).

Det är ologiskt att säga om din katt

• att den inte har några egenskaper (vilket bryter mot ’Specificitet’)

• att den är död och inte död (vilket bryter mot ’Icke-Contradiction’)

• att den varken är vid god hälsa eller inte vid god hälsa (vilket strider mot ’Excluded middle’).

SUBJEKT, PREDIKAT OCH KONTEXT

Värdet ’ting’, som förekommer i var och en av logikens principer, syftar på allting som man kan vilja säga något om. Ett objekt (Eiffeltornet, din dator) är alltså en sak. Detsamma gäller ett djur (din katt), en person (jag, du, din far) eller en fiktiv figur (Musse Pigg). En historisk eller fiktiv händelse (andra Gulfkriget, Big Bang, din födelse, din grannes giftermål, Sherlock Holmes död) är en sak. Andra saker är en bokstav i alfabetet, ett ord, en mening, ett argument och så vidare. Kort sagt är ett ting allt som är eller kan vara föremål för något man säger.

Vad man säger om ett ting kallas dess predikat – det är vad man predikterar om det. Man kan till exempel predika om ett subjekt att det har, eller inte har, en viss egenskap; eller att det står, eller inte står, i ett visst förhållande till något/några ting.

Observera att man alltid bör göra en tydlig distinktion mellan ett ting och de namn eller beskrivningar med vilka man hänvisar till det. Namnet ”Oliver” består av sex bokstäver, men den person (om någon) som namnet avser består inte av bokstäver. Namnet ”Dracula”, som egennamn för en vampyr, hänvisar inte till ett verkligt ting – Dracula existerar inte – men uppenbarligen existerar namnet i sig självt. I samband med en beskrivning av den verkliga världen gäller följaktligen ”existensaxiomet” endast för namnet ”Dracula”, men inte för den icke-existerande Dracula. Man bör alltså inte läsa existensaxiomet som om det skulle säga ”för varje namn finns det en sak som namnet hänvisar till”.

Ibland finner vi att ett ting är känt under mer än ett namn eller en beskrivning. Till exempel hänvisar namnen ”morgonstjärnan” och ”kvällsstjärnan” till samma planet. Detta faktum ger oss dock inte ett motexempel eller ett undantag från principen om entydighet. Med andra ord är det inte så att vi här har ett par saker – morgonstjärnan och kvällsstjärnan – så att den ena saken är den andra saken: det finns bara den ena planeten. Det är inte heller så att vi här har ett par saker – namnet ”morgonstjärnan” och namnet ”aftonstjärnan” – så att det ena namnet är identiskt med det andra.

Vi bör notera att logikens principer hänvisar till ett givet sammanhang. I Dracula-historien hänvisar namnet ”Dracula” till något som antas existera i verkligheten. Historien skulle inte vara begriplig om man inte gjorde den förutsättningen. Musse Pigg finns inte i den verkliga fysiska världen, men han antas verkligen finnas i Musse Pigg-berättelserna. Även om du vet att berättelsen är påhittad måste du naturligtvis, för att kunna njuta av den, tydligt skilja det som berättelsen berättar för dig från det som du vet är sant i den verkliga världen. Om du blandar ihop det verkliga livets sammanhang med det sammanhang som en viss fiktion eller fantasi utgör, kommer det inte att hjälpa dig att förstå vare sig det ena eller det andra.

Att hålla reda på kontexter är ett viktigt drag i logiken. Att ta reda på vilka påståenden som kan, och vilka påståenden som inte kan, hänvisa till samma sammanhang är logikens främsta syfte. Din katt kan ha varit vid liv och välmående igår men sjuk i morse – och nu kan den vara död. Det påståendet är inte motsägelsefullt. Det kan dock inte vara sant att din katt lever och mår bra, är sjuk och död – allt på samma gång.

Ett påstående, en fantasi eller en berättelse kanske inte är sant, men det betyder inte att det är ologiskt. Vi kan förvisso kontrollera om en berättelse är ologisk eller inte, oavsett om den är tänkt att vara sann eller inte. En roman som i kapitel ett rapporterar att butlern upptäckte sin arbetsgivares kropp och i kapitel åtta hävdar att butlern redan var död när hans arbetsgivare dog är ologisk. Den berättar en historia som omöjligen kan vara sann. Å andra sidan kan en logiskt konsekvent eller sammanhängande berättelse tänkas vara sann även om den inte är det.

Oppenbarligen är det inte samma sak att kontrollera om en berättelse är konsekvent som att kontrollera om den är sann. Att kontrollera om en berättelse stämmer överens med en annan är inte samma sak som att kontrollera om den stämmer överens med vad vi vet om den verkliga världen.

Om två personer är oense på någon punkt måste minst en av dem säga något som inte är sant. Det är också möjligt att båda säger något som är falskt. Men om de inte låtsades diskutera den verkliga världen eller samma fiktiva berättelse utan bara producerade berättelser för att roa sina läsare så skulle de förmodligen inte bry sig om hur deras litterära produkter stämmer överens med verklighetens fakta eller med fakta i någon annan berättelse än deras egen.

Men även om det finns påståenden som är sanna i ett sammanhang och falska i ett annat, så är tautologier sanna i alla sammanhang och motsägelser är falska i alla sammanhang. Det är bara ett annat sätt att säga att tautologier nödvändigtvis är sanna och därför inte kan falsifieras oavsett vad som är eller inte är fallet; och att motsägelser nödvändigtvis är falska och därför inte kan verifieras oavsett vad som är eller inte är fallet.

LOGIK OCH RHETORIK

Att säga något ologiskt är att säga något som, om det tas bokstavligen, inte kan vara sant. Det är att säga något som vi inte ens kan föreställa oss vara sant – och inte på grund av bristande föreställningsförmåga.

Om någon säger ”Min katt är död och inte död” så kan det han säger inte vara sant, åtminstone inte om vi tar honom bokstavligt. För att få en mening med hans påstående måste vi anta att han använder ordet ”död” i två olika betydelser, till exempel: ”Min katt lever, men hon är så slö att hon lika gärna kan vara död”. Den tolkningen tar bort motsägelsen, men det gör den bara genom att anta att han säger något annat än vad han bokstavligen sa.

När någon säger ”Jag är inte mig själv i dag” tenderar vi att anta att han menar något i stil med ”Jag vet inte vad det är för fel på mig i dag, men mitt nuvarande beteende är ovanligt för mig”. Men om han insisterar på att vi ska ta hans ord bokstavligt så kan vi inte förstå vad han säger. Det kan omöjligt vara sant.

När någon medvetet säger något som vid första anblicken är ologiskt finns det en god chans att han inte vill att hans publik ska tolka det bokstavligt. Han talar förmodligen retoriskt för att göra eller understryka en poäng. Det är i och för sig inget fel med sådana retoriska finesser, men de bör användas med försiktighet eftersom de ökar risken för missförstånd. När allt kommer omkring säger man något som inte bör tas bokstavligt, men man överlåter åt publiken att ta reda på vad man egentligen vill säga.
Det är dessutom så att retoriska uttryck kan vara vilseledande. Demagoger och bedragare använder dem ofta för att avleda publikens uppmärksamhet från relevanta fakta eller för att få dem att associera en sak med en annan när det inte finns någon objektiv grund för associationen. Ju mindre utbildad i logik publiken är, desto lättare är det för demagoger och bedragare att vilseleda dem. Som Bertrand Russell sade: ”Logik är det bästa försvaret mot trickeri.”

Ofta är det ologiska i det som en person säger inte uppenbart, eller är uppenbarligen inte, ett avsett resultat. Det kan vara så att den framträder först vid en närmare analys av vad han har sagt eller genom att kombinera olika delar av hans budskap. Alternativt kan det framträda endast genom att explicitera det som han inte sa med så många ord men som han borde bejaka eftersom det är underförstått i det som han uttryckligen sa. Ibland är en talare inte helt medveten om alla logiska implikationer av det han säger. Ibland kan han vara omedveten om att det finns faktisk eller teoretisk kunskap som är tillämplig på det han säger. Tänk på följande meddelande:

1. Jag köpte en bit platt mark som är en perfekt rektangulär triangel.

2. En sida är 30 meter lång.

3. En sida är 40 meter lång.

4. Den tredje sidan är 55 meter lång

Det ser ut som en enkel beskrivning av en bit mark utan någon antydan till retorisk utsmyckning eller överdrift. En elementär kunskap om geometri (i synnerhet om den relevanta pythagoriska satsen) avslöjar emellertid att det inte kan finnas någon rektangulär triangel med de dimensioner som talaren nämner. Om det som talaren säger är sant är Pythagoras sats fel! Å andra sidan, om teoremet är sant så är åtminstone en av hans mätningar, eller hans beskrivning av markens form, felaktig. Om vi rimligen antar att teoremet är sant kan vi därför dra slutsatsen att talaren gjorde ett misstag eller ljög om den mark han påstår sig ha köpt.

INFERENSER OCH PROOFS

Förutsätt att Jane är en elev och att hennes lärare berättar för dig att alla eleverna i Janes klass har klarat provet. Även om läraren inte säger det med så många ord har du rätt att dra slutsatsen att Jane klarade provet. Jane är ju trots allt elev i hennes klass.

Förutsättning 1: Alla elever i Janes klass klarade provet.

Förutsättning 2: Jane är elev i Janes klass.
Slutsats: Jane klarade provet.

Denna slutsats är giltig. Den bevisar dock inte att Jane klarade provet. När allt kommer omkring är påståendet att Jane klarade provet endast en slutsats av vad läraren sa. Talade läraren sanningen? Anta att det visar sig att Jane inte klarade provet. Då kan vi bevisa att det läraren sa till Jane inte var sant. Beviset går till på följande sätt:

Fakt 1: Läraren sa att alla elever i Janes klass klarade provet.
Fakt 2: Jane är en elev i Janes klass.
Fakt 3: Jane klarade inte provet.
Slutsats: Minst en elev i Janes klass klarade inte provet.
Slutsats: Fakta 3: Jane har inte klarat provet: Det är inte sant att alla elever i Janes klass klarade provet.
Slutsats: Det är inte sant att alla elever i Janes klass klarade provet: Ett annat bevis för samma slutsats skulle vara

Fakt 1: Läraren sa att alla elever i Janes klass klarade provet.
Fakt 2: Jane är en elev i Janes klass.
Slutsats: Det är inte sant att alla elever i Janes klass klarade provet.
Fakta 1: Läraren sa att alla elever i Janes klass klarade provet.
Fakta 2: Jane är en elev i Janes klass.
Slutsats: Det är inte sant: Om det som läraren sa var sant så klarade Jane provet.
Fakt 3: Jane klarade inte provet.
Slutsats: Jane är en av de elever som har en examen i sin klass: Slutsats: Det läraren sa var inte sant.

Även här är slutsatsen giltigt härledd från de påståenden som föregår den (argumentets premisser). Men eftersom den är härledd från fakta med hjälp av andra giltiga slutsatser kan vi nu säga att vi har ett bevis för att slutsatsen är sann. Ett bevis är en giltig slutsats som utgår från fakta (som meddelas med hjälp av sanna påståenden). Man kan dock dra giltiga slutsatser från påståenden som inte är sanna.

Det är tydligt att ett bevis är en giltig slutsats, men inte alla giltiga slutsatser är bevis. Betänk

Förutsättning 1: Lejon är fåglar
Förutsättning 2: Fåglar har vingar
Slutsats: Slutsats: Lejon har vingar

Slutsatsen är giltigt härledd från premisserna, men vi bör inte säga att vi har bevisat att lejon har vingar. Slutsatsen är falsk – och vi kan logiskt sett inte påstå att vi kan bevisa något som är falskt. Överväg också

Premiss 1: Lejon är fåglar
Premiss 2: Fåglar är djur
Slutsats: Slutsats: Lejon är djur

Slutsatsen är återigen giltigt härledd från premisserna. Den här gången är slutsatsen sann: lejon är djur. Slutsatsen är dock fortfarande inte ett bevis för slutsatsen. En av premisserna är falsk – och vi kan logiskt sett inte hävda att en falskhet ger stöd för ett påstående.

Oppenbarligen bevisar ingen av slutledningarna att dess slutsats är sann. Ändå är båda giltiga slutsatser eftersom vart och ett av följande hypotetiska påståenden är en tautologi:

• Om

lejon är fåglar och om fåglar har vingar så har lejon vingar

• Om

lejon är fåglar och om fåglar är djur så är lejon djur

I dessa hypotetiska påståenden sägs ingenting om sanningen eller falskheten hos premisserna eller slutsatserna i slutsatserna. Uttalandena bekräftar bara att om premisserna är sanna så är slutsatsen sann.

Till exempel är slutsatsen om Janes provresultat giltig eftersom följande hypotetiska påstående är en tautologi:

• Om

alla elever i Janes klass klarade provet och om Jane är elev i Janes klass så klarade Jane provet

Även i dessa påståenden sägs ingenting om sanningen eller falskheten hos premisserna eller slutsatsen i slutsatsen. Allt som sägs är att

• Om

premisserna är sanna så är slutsatsen sann.

För övrigt, eftersom detta mönster här representerar en tautologi, som är sann oavsett vad som kan vara fallet eller inte, kan vi säga

• Om

premisserna är sanna måste slutsatsen vara sann

Om de hypotetiska påståenden som vi här har att göra med är tautologier, är deras negationer motsägelser. När det gäller de slutsatser som vi tog som exempel uppfyller dessa negationer mönstret

• Premisserna är sanna och slutsatsen är inte sann

Till exempel: ”Alla elever i Janes klass klarade provet och Jane är elev i Janes klass, men Jane klarade inte provet”; ”Lejon är fåglar och fåglar har vingar men något lejon har inga vingar”.

För övrigt, eftersom det nämnda mönstret här representerar negationen av en tautologi, representerar det en motsägelse:

• Ansatserna ”Premisserna är sanna” och ”Slutsatsen är inte sann” är motsägelsefulla

Därmed, om det rör sig om en giltig slutsats, kan man logiskt sett inte bejaka slutsatsens premisserna utan att också bejaka dess slutsats. Om man bekräftar förutsättningarna för en giltig slutsats samtidigt som man vägrar att bekräfta dess slutsats, hamnar man i en motsägelse – man håller något för sant som helt enkelt inte kan vara sant. Med andra ord innebär det ett osammanhängande tal.

Från det vi hittills har sagt är det lätt att förstå hur en logiker går tillväga för att kontrollera giltigheten av en slutsats. Han gör det genom att försöka hitta, konstruera eller föreställa sig en situation där premisserna är sanna men slutsatsen är falsk. Med andra ord försöker han komma fram till ett motbevis. Om han lyckas med sitt försök har han bevisat att slutsatsen inte är giltig.

Det blotta faktum att han inte lyckas ta fram ett motexempel ger oss dock ingen tvingande anledning att säga att han har bevisat giltigheten av slutsatsen i fråga. Det kan vara så att hans sökande efter ett motexempel inte var uttömmande – att han inte övervägde alla möjligheter.

Om han inte kan visa att hans försök har beaktat alla möjligheter och därför utgör ett bevis för att sökandet efter ett motexempel är meningslöst och hopplöst, är hans negativa resultat ofullständigt. Om han å andra sidan kan visa att han har övervägt alla möjligheter och ändå inte kunnat hitta något motexempel, har han rätt att säga att det inte kan finnas något motexempel och att den slutsats han undersöker därför är giltig.

Därmed kan vi också förstå att det logiska tänkandet i första hand består i att ta hänsyn till alla tänkbara fall och sammanhang.