Alai

Inom matematiken är standardbasen (även kallad naturlig bas) för ett koordinatvektorsutrymme uppsättningen av vektorer vars koordinater alla är noll, utom en som är lika med 1. I fallet med det euklidiska planet som bildas av paren (x, y) av reella tal utgörs standardbasen till exempel av vektorerna

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Varje vektor a i tre dimensioner är en linjär kombination av standardbasvektorerna i, j och k.

På liknande sätt bildas standardbasen för det tredimensionella rummet av vektorerna

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Här pekar vektorn ex i x-ledet, vektorn ey i y-ledet och vektorn ez i z-ledet. Det finns flera vanliga beteckningar för vektorer med standardbas, bland annat {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} och {x, y, z}. Dessa vektorer skrivs ibland med en hatt för att betona deras status som enhetsvektorer (standarenhetsvektorer).

Dessa vektorer är en bas i den meningen att varje annan vektor kan uttryckas entydigt som en linjär kombination av dessa. Till exempel kan varje vektor v i det tredimensionella rummet skrivas unikt som

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

skalarerna vx, vy, vz är de skalära komponenterna av vektorn v.

I det n-dimensionella euklidiska rummet R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} består standardbasen av n distinkta vektorer

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

där ei betecknar vektorn med 1 i den i:e koordinaten och 0 i övriga koordinater.

Standardbaser kan definieras för andra vektorrum, vars definition inbegriper koefficienter, såsom polynom och matriser. I båda fallen består standardbasen av elementen i utrymmet så att alla koefficienter utom en är 0 och den som inte är noll är 1. För polynomier består standardbasen således av monomiallerna och kallas vanligen monomibas. För matriser M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}}_{m\times n}}} består standardbasen av m×n-matriserna med exakt en post som inte är noll, vilket är 1. Standardbasen för 2×2-matriser utgörs till exempel av de fyra matriserna

e 11 = ( 1 0 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}}.}