En matris som liknar en triangulär matris kallas triangulariserbar. Abstrakt sett är detta likvärdigt med att stabilisera en flagga: övre triangulära matriser är just de som bevarar standardflaggan, som ges av den standardordnade basen ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
och den resulterande flaggan 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Alla flaggor är konjugerade (eftersom den allmänna linjära gruppen verkar transitivt på baser), så varje matris som stabiliserar en flagga är likadan som en som stabiliserar standardflaggan.
Alla komplexa kvadratiska matriser är triangulariserbara. Faktum är att en matris A över ett fält som innehåller alla A:s egenvärden (t.ex. en matris över ett algebraiskt slutet fält) liknar en triangulär matris. Detta kan bevisas genom att använda induktion på det faktum att A har en egenvektor, genom att ta kvotutrymmet genom egenvektorn och induktion för att visa att A stabiliserar en flagga och därmed är triangulariserbar med avseende på en bas för den flaggan.
Ett mer precist uttalande ges av Jordans normalforms-sats, som anger att A i denna situation liknar en övre triangulär matris av en mycket speciell form. Det enklare triangulariseringsresultatet är dock ofta tillräckligt och används i vilket fall som helst för att bevisa Jordan normalforms-satsen.
I fallet med komplexa matriser är det möjligt att säga mer om triangularisering, nämligen att varje kvadratisk matris A har en Schur-dekomposition. Detta innebär att A är unitariskt ekvivalent (dvs. likartad, genom att använda en enhetlig matris som byte av bas) till en övre triangulär matris; detta följer genom att ta en hermitisk bas för flaggan.
Simultan triangulariseringsbarhetRedigera
En uppsättning matriser A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}}
sägs vara samtidigt triangulära om det finns en bas under vilken de alla är övre triangulära; likvärdigt, om de är övre triangulära genom en enda likhetsmatris P. En sådan uppsättning matriser är lättare att förstå genom att betrakta den algebra av matriser som den genererar, nämligen alla polynomier i A i , {\displaystyle A_{i},}
som betecknas K . {\displaystyle K.}
Simultan triangulariseringsbarhet innebär att denna algebra är konjugerad till Lie-subalgebra av övre triangulära matriser, och är likvärdig med att denna algebra är en Lie-subalgebra av en Borel-subalgebra.
Det grundläggande resultatet är att (över ett algebraiskt slutet fält), de kommuterande matriserna A , B {\displaystyle A,B}
eller mer allmänt A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
är samtidigt triangulariserbara. Detta kan bevisas genom att först visa att kommuterande matriser har en gemensam egenvektor och sedan inducera på dimensionen som tidigare. Detta bevisades av Frobenius med början 1878 för ett kommuterande par, vilket diskuteras under kommuterande matriser. När det gäller en enskild matris kan de komplexa talen trianguleras med hjälp av enhetliga matriser.
Det faktum att kommuterande matriser har en gemensam egenvektor kan tolkas som ett resultat av Hilberts Nullstellensatz: Kommuterande matriser bildar en kommutativ algebra K {\displaystyle K}
över K {\displaystyle K}
som kan tolkas som en varietet i k-dimensionella affina rum, och existensen av ett (gemensamt) egenvärde (och därmed en gemensam egenvektor) motsvarar att denna variation har en punkt (är icke-tom), vilket är innehållet i den (svaga) nollställningssatsen. I algebraiska termer motsvarar dessa operatörer en algebraisk representation av polynomialalgebran i k variabler.
Detta generaliseras genom Lie-satsen, som visar att varje representation av en lösbar Lie-algebra samtidigt är övre triangulariserbar, fallet med kommuterande matriser är fallet med abelisk Lie-algebra, abelisk är a fortiori lösbar.
Mer generellt och precist är en uppsättning matriser A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
är samtidigt triangelbar om och endast om matrisen p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
är nilpotent för alla polynom p i k icke-kopplande variabler, där {\displaystyle }
är kommutatorn; för kommuterande A i {\displaystyle A_{i}}
försvinner kommutatorn så detta gäller. Detta bevisades i (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); ett kort bevis ges i (Prasolov 1994, s. 178-179). En riktning är klar: om matriserna samtidigt är triangulära, då {\displaystyle }
är strikt övre triangulariserbar (och därmed nilpotent), vilket bevaras genom multiplikation med någon A k {\displaystyle A_{k}}
eller en kombination därav – den kommer fortfarande att ha 0:or på diagonalen i den triangulerande basen.