Alai

Vad är matematik? En bit historia Matematik som disciplin Matematikens skönhet Problemlösning Slutanmärkningar Vad är matematik? Matematik är en gammal, bred och djup disciplin (studieområde). Personer som arbetar för att förbättra matematikundervisningen måste förstå ”Vad är matematik?”

En bit historia

Matematik som ett formellt område för undervisning och inlärning utvecklades för cirka 5 000 år sedan av sumererna. De gjorde detta samtidigt som de utvecklade läsning och skrivning. Matematikens rötter går dock mycket längre tillbaka än 5 000 år.

Under hela sin historia har människan ställts inför behovet av att mäta och kommunicera om tid, kvantitet och avstånd. Ishango-benet (se ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html och http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
sv/ishango/riddle.html) är ett verktygshäfte av ben som är ungefär 20 000 år gammalt.

Bilden som ges nedan visar sumeriska lervärdespengar vars användning började för ungefär 11 000 år sedan (se http://www.sumerian.org/tokens.htm). Sådana lerpjäser var en föregångare till läsning, skrivning och matematik.

Utvecklingen av läsning, skrivning och formell matematik för 5 000 år sedan möjliggjorde kodifiering av matematisk kunskap, formell undervisning i matematik och inledde en stadig ackumulering av matematisk kunskap.

Matematik som disciplin

En disciplin (ett organiserat, formellt ämnesområde) som matematiken tenderar att definieras av de typer av problem som den tar upp, de metoder som den använder för att ta itu med dessa problem och de resultat som den har uppnått. Ett sätt att organisera denna uppsättning information är att dela in den i följande tre kategorier (de överlappar naturligtvis varandra):

1. Matematik som en mänsklig strävan. Tänk till exempel på matematiken för att mäta tid, t.ex. år, årstider, månader, veckor, dagar och så vidare. Eller tänk på mätning av avstånd och de olika system för avståndsmätning som utvecklats över hela världen. Eller tänk på matematiken i konst, dans och musik. Det finns en rik historia av mänsklig utveckling av matematik och matematiska användningsområden i vårt moderna samhälle.
2. Matematik som disciplin. Du är bekant med många akademiska discipliner som arkeologi, biologi, kemi, ekonomi, historia, psykologi, sociologi och så vidare. Matematik är en bred och djup disciplin som fortsätter att växa i bredd och djup. Numera är en doktorsavhandling i matematik vanligtvis snävt inriktad på definitioner, satser och bevis som rör ett enda problem inom ett smalt delområde inom matematiken.
3. Matematik som ett tvärvetenskapligt språk och verktyg. Liksom läsning och skrivning är matematik en viktig del av inlärning och ”görande” (användning av sina kunskaper) inom varje akademisk disciplin. Matematik är ett så användbart språk och verktyg att det anses vara en av ”grunderna” i vårt formella utbildningssystem.

I stor utsträckning tenderar elever och många av deras lärare att definiera matematik i termer av vad de lär sig i matematikkurser, och dessa kurser tenderar att fokusera på #3. Fokus i undervisningen och bedömningen tenderar att ligga på grundläggande färdigheter och på att lösa relativt enkla problem med hjälp av dessa grundläggande färdigheter. Som diskussionen om de tre komponenterna ovan visar är detta bara en del av matematiken.

Även inom den tredje komponenten är det inte klart vad som bör betonas i läroplanen, undervisningen och bedömningen. Frågan om grundläggande färdigheter kontra färdigheter av högre ordning är särskilt viktig inom matematikundervisningen. Hur mycket av tiden i matematikundervisningen bör läggas på att hjälpa eleverna att uppnå en hög grad av noggrannhet och automatik i grundläggande beräkningsfärdigheter och procedurfärdigheter? Hur mycket tid bör ägnas åt högre färdigheter, t.ex. problemställning, problemrepresentation, lösning av komplexa problem och överföring av matematiska kunskaper och färdigheter till problem inom andra discipliner än matematik?

Matematikens skönhet

Relativt få K-12-lärare studerar tillräckligt mycket matematik för att de ska kunna förstå och uppskatta bredden, djupet, komplexiteten och skönheten i denna disciplin. Matematiker talar ofta om skönheten i ett visst bevis eller ett visst matematiskt resultat. Minns du att någon av dina matematiklärare i grundskolan någonsin har talat om matematikens skönhet?

G. H. Hardy var en av världens ledande matematiker under första hälften av 1900-talet. I sin bok ”A Mathematician’s Apology” utvecklar han utförligt skillnaderna mellan ren och tillämpad matematik. Han diskuterar två exempel på (vackra) rena matematiska problem. Detta är problem som vissa elever på mellanstadiet och högstadiet mycket väl skulle kunna lösa, men de är helt annorlunda än de typer av matematik som behandlas i vår nuvarande läroplan för grundskolan och gymnasiet. Båda dessa problem löstes för mer än 2 000 år sedan och är representativa för vad matematiker gör.

1. Ett rationellt tal är ett tal som kan uttryckas som en bråkdel av två heltal. Bevisa att kvadratroten av 2 inte är ett rationellt tal. Observera att kvadratroten av 2 uppstår på ett naturligt sätt när man använder sig av lantmäteri- och snickeriteknik.
2. Ett primtal är ett positivt heltal större än 1 vars enda positiva heltalsdelare är sig självt och 1. Visa att det finns ett oändligt antal primtal. På senare år har mycket stora primtal visat sig vara mycket användbara vid kryptering av elektroniska meddelanden.

Problemlösning

Följande diagram kan användas för att diskutera hur man representerar och löser tillämpade matematiska problem på K-12-nivå. Detta diagram är särskilt användbart i diskussioner om den nuvarande läroplanen för matematik för K-12.

De sex steg som illustreras är 1) Problemställning, 2) Matematisk modellering, 3) Användning av ett beräkningstekniskt eller algoritmiskt förfarande för att lösa ett beräkningstekniskt eller algoritmiskt matematiskt problem, 4) Matematisk ”avmodellering”, 5) Fundera på resultaten för att se om det klart definierade problemet har lösts, och 6) Fundera på om den ursprungliga problemsituationen har lösts. I steg 5 och 6 ingår också att tänka på relaterade problem och problemsituationer som man kanske vill ta itu med eller som skapas av processen eller försöket att lösa det ursprungliga klart definierade problemet eller lösa den ursprungliga problemsituationen. Klicka här för mer information om problemlösning.

Slutanmärkningar

Här är fyra mycket viktiga punkter som framkommer vid betraktandet av diagrammet i figur 3 och tidigare material som presenteras i detta avsnitt:

1. Matematik är ett hjälpmedel för att representera och försöka lösa problemsituationer inom alla discipliner. Det är ett tvärvetenskapligt verktyg och språk.
2. Datorer och miniräknare är oerhört snabba, exakta och kapabla att utföra steg 3.
3. Vår nuvarande matematiska läroplan för K-12 tillbringar majoriteten av sin tid med att lära eleverna att utföra steg 3 med hjälp av de mentala och fysiska verktyg (t.ex. penna och papper) som har använts i hundratals år. Vi kan se det som att eleverna lär sig att konkurrera med maskiner, snarare än att arbeta med maskiner.
4. Vår nuvarande matematikundervisning på förskole- och gymnasienivå är obalanserad mellan kunskaper och färdigheter av lägre ordning (med alldeles för mycket betoning på steg 3 i diagrammet) och kunskaper och färdigheter av högre ordning (alla de andra stegen i diagrammet). Det är svagt när det gäller matematik som en mänsklig strävan och som en studiedisciplin.

Det finns tre kraftfulla förändringsagenter som så småningom kommer att underlätta och framtvinga stora förändringar i vårt matematiska utbildningssystem.

• Hjärnforskningen, som i hög grad underlättas av utrustning för hjärnscanning och kartläggning och modellering av hjärnans aktiviteter med hjälp av datorer, bidrar på ett betydande sätt till vår förståelse av hur hjärnan lär sig matematik och använder sina matematiska kunskaper och färdigheter.
• Dator- och informationsteknik ger kraftfulla hjälpmedel till många olika forskningsområden (t.ex. hjärnforskning), till matematikundervisning (t.ex. genom användning av mycket interaktiv, intelligent och datorstödd inlärning, kanske via Internet), till matematikens innehåll (t.ex. beräkningsmatematik) och till att representera och automatisera ”förfarandena” i matematiken.
• Den stadiga tillväxten av den totala matematiska kunskapen och dess tillämpningar för att representera och hjälpa till att lösa problem inom alla akademiska discipliner.

Top of Page